Линейной
комбинацией векторов
называется вектор
,
где λ 1 , ... , λ m – произвольные коэффициенты.
Система
векторов
называется
линейно зависимой, если существует ее
линейная комбинация, равная
,
в которой есть хотя бы один ненулевой
коэффициент.
Система
векторов
называется
линейно независимой, если в любой ее
линейной комбинации, равной
,
все коэффициенты нулевые.
Базисом
системы векторов
называется
ее непустая линейно независимая
подсистема, через которую можно выразить
любой вектор системы.
П р
и м е р 2. Найти базис системы векторов
=
(1, 2, 2, 4),
=
(2, 3, 5, 1),
=
(3, 4, 8, -2),
=
(2, 5, 0, 3) и выразить остальные векторы
через базис.
Р е ш е н и е. Строим матрицу, в которой координаты данных векторов располагаем по столбцам. Приводим ее к ступенчатому виду.
~
~
~
.
Базис
данной системы образуют векторы
,
,
,
которым соответствуют ведущие элементы
строк, выделенные кружками. Для выражения
вектора
решаем уравнениеx 1 
+x 2 
+
x 4 
=
.
Оно сводится к системе линейных
уравнений, матрица которой получается
из исходной перестановкой столбца,
соответствующего
,
на место столбца свободных членов.
Поэтому для решения системы используем
полученную матрицу в ступенчатом виде,
сделав в ней необходимые перестановки.
Последовательно находим:
x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;
=
-
+2
.
Замечание 1. Если требуется выразить через базис несколько векторов, то для каждого из них строится соответствующая система линейных уравнений. Эти системы будут отличаться только столбцами свободных членов. Поэтому для их решения можно составить одну матрицу, в которой будет несколько столбцов свободных членов. При этом каждая система решается независимо от остальных.
Замечание 2. Для выражения любого вектора достаточно использовать только базисные векторы системы, стоящие перед ним. При этом нет необходимости переформировывать матрицу, достаточно поставить вертикальную черту в нужном месте.
У п р а ж н е н и е 2. Найти базис системы векторов и выразить остальные векторы через базис:
а)
=
(1, 3, 2, 0),
=
(3, 4, 2, 1),
=
(1, -2, -2, 1),
=
(3, 5, 1, 2);
б)
=
(2, 1, 2, 3),
=
(1, 2, 2, 3),
=
(3, -1, 2, 2),
=
(4, -2, 2, 2);
в)
=
(1, 2, 3),
=
(2, 4, 3),
=
(3, 6, 6),
=
(4, -2, 1);
=
(2, -6, -2).
3. Фундаментальная система решений
Система линейных уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю.
Фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений называется базис множества ее решений.
Пусть дана неоднородная система линейных уравнений. Однородной системой, ассоциированной с данной, называется система, полученная из данной заменой всех свободных членов на нули.
Если неоднородная система совместна и неопределенна, то ее произвольное решение имеет вид f н + 1 f о1 + ... + k f о k ,гдеf н – частное решение неоднородной системы иf о1 , ... , f о k – фундаментальная система решений ассоциированной однородной системы.
П р и м е р 3. Найти частное решение неоднородной системы из примера 1 и фундаментальную систему решений ассоциированной однородной системы.
Р е ш е н и е. Запишем решение, полученное в примере 1, в векторном виде и разложим получившийся вектор в сумму по свободным параметрам, имеющимся в нем, и фиксированным числовым значениям:
= (x 1 ,
x 2 ,
x 3 ,
x 4) =
(–2a + 7b –
2, a, –2b + 1, b) = (–2a,
a, 0, 0) + (7b, 0, –2b, b) + +(–
2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (–
2, 0, 1, 0).
Получаемf н =(– 2, 0, 1, 0), f о1 = (-2, 1, 0, 0), f о2 = (7, 0, -2, 1).
Замечание. Аналогично решается задача нахождения фундаментальной системы решений однородной системы.
У п р а ж н е н и е 3.1 Найти фундаментальную систему решений однородной системы:
а)
б)
в) 2x 1 – x 2 +3x 3 = 0.
У п р а ж н е н и е 3.2. Найти частное решение неоднородной системы и фундаментальную систему решений ассоциированной однородной системы:
а)
б)
В геометрии вектор понимается как направленный отрезок, причем векторы, полученные один из другого параллельным переносом, считаются равными. Все равные векторы рассматриваются как один и тот же вектор. Начало вектора можно поместить в любую точку пространства или плоскости.
Если в пространстве заданы координаты концов вектора : A (x 1 , y 1 , z 1), B (x 2 , y 2 , z 2), то
= (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)
Аналогичная формула имеет место на плоскости. Это значит, что вектор можно записать в виде координатной строки. Операции над векторами, – сложение и умножение на число, над строками выполняются покомпонентно. Это дает возможность расширить понятие вектора, понимая под вектором любую строку чисел. Например, решение системы линейных уравнений, а также любой набор значений переменных системы, можно рассматривать как вектор.
Над строками одинаковой длины операция сложения выполняется по правилу
(a 1 , a 2 , … , a n ) + (b 1 , b 2 , … , b n ) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + b n ). (2)
Умножение строки на число выполняется по правилу
l(a 1 , a 2 , … , a n ) = (la 1 , la 2 , … , la n ). (3)
Множество векторов-строк заданной длины n с указанными операциями сложения векторов и умножения на число образует алгебраическую структуру, которая называется n-мерным линейным пространством .
Линейной комбинацией векторов называется вектор 
, где λ 1 , ... , λ m
– произвольные коэффициенты.
Система векторов называется линейно зависимой, если существует ее линейная комбинация, равная , в которой есть хотя бы один ненулевой коэффициент.
Система векторов называется линейно независимой, если в любой ее линейной комбинации, равной , все коэффициенты нулевые.
Таким образом, решение вопроса о линейной зависимости системы векторов сводится к решению уравнения
x 1 + x 2 + … + x m = . (4)
Если у этого уравнения есть ненулевые решения, то система векторов линейно зависима. Если же нулевое решение является единственным, то система векторов линейно независима.
Для решения системы (4) можно для наглядности векторы записать не в виде строк, а в виде столбцов.
Тогда, выполнив преобразования в левой части, придем к системе линейных уравнений, равносильной уравнению (4). Основная матрица этой системы образована координатами исходных векторов, расположенных по столбцам. Столбец свободных членов здесь не нужен, так как система однородная.
Базисом системы векторов (конечной или бесконечной, в частности, всего линейного пространства) называется ее непустая линейно независимая подсистема, через которую можно выразить любой вектор системы.
Пример 1.5.2. Найти базис системы векторов = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) и выразить остальные векторы через базис.
Решение . Строим матрицу, в которой координаты данных векторов располагаем по столбцам. Это матрица системы x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =. . Приводим матрицу к ступенчатому виду:
~ 
~ 
~
Базис данной системы векторов образуют векторы , , , которым соответствуют ведущие элементы строк, выделенные кружками. Для выражения вектора решаем уравнение x 1 + x 2 + x 4 = . Оно сводится к системе линейных уравнений, матрица которой получается из исходной перестановкой столбца, соответствующего , на место столбца свободных членов. Поэтому при приведении к ступенчатому виду над матрицей будут сделаны те же преобразования, что выше. Значит, можно использовать полученную матрицу в ступенчатом виде, сделав в ней необходимые перестановки столбцов: столбцы с кружками помещаем слева от вертикальной черты, а столбец, соответствующий вектору , помещаем справа от черты.
Последовательно находим:
x 4 = 0;
x 2 = 2;
x 1 + 4 = 3, x 1 = –1;
Замечание . Если требуется выразить через базис несколько векторов, то для каждого из них строится соответствующая система линейных уравнений. Эти системы будут отличаться только столбцами свободных членов. При этом каждая система решается независимо от остальных.
У п р а ж н е н и е 1.4. Найти базис системы векторов и выразить остальные векторы через базис:
а) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);
б) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);
в) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, –6, –2).
В заданной системе векторов базис обычно можно выделить разными способами, но во всех базисах будет одинаковое число векторов. Число векторов в базисе линейного пространства называется размерностью пространства. Для n -мерного линейного пространства n – это размерность пространства, так как это пространство имеет стандартный базис = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Через этот базис любой вектор = (a 1 , a 2 , … , a n ) выражается следующим образом:
= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n ) =
A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n (0, 0, … ,1) = a 1 + a 2 +… + a n .
Таким образом, компоненты в строке вектора = (a 1 , a 2 , … , a n ) – это его коэффициенты в разложении через стандартный базис.
Прямые на плоскости
Задача аналитической геометрии – применение к геометрическим задачам координатного метода. Тем самым задача переводится в алгебраическую форму и решается средствами алгебры.
Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.
Лекция 9. Базис векторного пространства.
Краткое содержание: система векторов, линейная комбинация системы векторов, коэффициенты линейной комбинации системы векторов, базис на прямой, плоскости и в пространстве, размерности векторных пространств на прямой, плоскости и в пространстве, разложение вектора по базису, координаты вектора относительно базиса, теорема о равенстве двух векторов, линейные операции с векторами в координатной форме записи, ортонормированная тройка векторов, правая и левая тройки векторов, ортонормированный базис, основная теорема векторной алгебры.
Глава 9. Базис векторного пространства и разложение вектора по базису.
п.1. Базис на прямой, на плоскости и в пространстве.
Определение. Любое конечное множество векторов называется системой векторов.
Определение.
Выражение
,
где
называется линейной комбинацией системы
векторов
,
а числа
называются коэффициентами этой линейной
комбинации.
Пусть L,
Р и S – прямая, плоскость
и пространство точек соответственно и
.
Тогда
– векторные пространства векторов как
направленных отрезков на прямой L,
на плоскости Р и в пространстве S
соответственно.
называется любой ненулевой вектор
,
т.е. любой ненулевой вектор коллинеарный
прямой L:
и
.
Обозначение
базиса
:
–
базис
.
Определение.
Базисом векторного пространства
называется любая упорядоченная пара
неколлинеарных векторов пространства
.
,
где
,
– базис
.
Определение.
Базисом векторного пространства
называется любая упорядоченная тройка
некомпланарных векторов (т.е. не лежащих
в одной плоскости) пространства
.
–
базис
.
Замечание.
Базис векторного пространства не может
содержать нулевого вектора: в пространстве
по определению, в пространстве
два вектора будут коллинеарные, если
хотя бы один из них нулевой, в пространстве
три вектора будут компланарные, т.е
будут лежать в одной плоскости, если
хотя бы один из трех векторов будет
нулевой.
п.2. Разложение вектора по базису.
Определение.
Пусть
– произвольный вектор,
– произвольная система векторов. Если
выполняется равенство
то
говорят, что вектор
представлен в виде линейной комбинации
данной системы векторов. Если данная
система векторов
является базисом векторного пространства,
то равенство (1) называется разложением
вектора
по базису
.
Коэффициенты линейной комбинации
называются в этом случае координатами
вектора
относительно базиса
.
Теорема. (О разложении вектора по базису.)
Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.
Доказательство.
1) Пусть L произвольная
прямая (или ось) и
–
базис
.
Возьмем произвольный вектор
.
Так как оба вектора
и
коллинеарные одной и той же прямой L,
то
.
Воспользуемся теоремой о коллинеарности
двух векторов. Так как
,
то найдется (существует) такое число
,
что
и тем самым мы получили разложение
вектора
по базису
векторного пространства
.
Теперь докажем
единственность такого разложения.
Допустим противное. Пусть имеется два
разложения вектора
по базису
векторного пространства
:
и
,
где
.
Тогда
и используя закон дистрибутивности,
получаем:
Так
как
,
то из последнего равенства следует, что
,
ч.т.д.
2)
Пусть теперь Р произвольная плоскость
и
– базис
.
Пусть
произвольный вектор этой плоскости.
Отложим все три вектора от какой-нибудь
одной точки этой плоскости. Построим 4
прямых. Проведем прямую
,
на которой лежит вектор
,
прямую
,
на которой лежит вектор
.
Через конец вектора
проведем прямую параллельную вектору
и прямую параллельную вектору
.
Эти 4 прямые высекают параллелограмм.
См. ниже рис. 3. По правилу параллелограмма
,
и
,
,
– базис
,
– базис
.
Теперь, по уже
доказанному в первой части этого
доказательства, существуют такие числа
,
что
и
.
Отсюда получаем:
и возможность
разложения по базису доказана.
Теперь докажем
единственность разложения по базису.
Допустим противное. Пусть имеется два
разложения вектора
по базису
векторного пространства
:
и
.
Получаем равенство
Откуда следует
.
Если
,
то
,
а т.к.
,
то
и коэффициенты разложения равны:
,
.
Пусть теперь
.
Тогда
,
где
.
По теореме о коллинеарности двух векторов
отсюда следует, что
.
Получили противоречие условию теоремы.
Следовательно,
и
,
ч.т.д.
3)
Пусть
–
базис
и пусть
произвольный вектор. Проведем следующие
построения.
Отложим
все три базисных вектора
и вектор
от одной точки и построим 6 плоскостей:
плоскость, в которой лежат базисные
векторы
,
плоскость
и плоскость
;
далее через конец вектора
проведем три плоскости параллельно
только что построенным трем плоскостям.
Эти 6 плоскостей высекают параллелепипед:
По правилу сложения векторов получаем равенство:
.
(1)
По
построению
.
Отсюда, по теореме о коллинеарности
двух векторов, следует, что существует
число
,
такое что
.
Аналогично,
и
,
где
.
Теперь, подставляя эти равенства в (1),
получаем:
и возможность разложения по базису доказана.
Докажем единственность
такого разложения. Допустим противное.
Пусть имеется два разложения вектора
по базису
:
И . Тогда
Заметим, что по
условию векторы
некомпланарные, следовательно, они
попарно неколлинеарные.
Возможны
два случая:
или
.
а)
Пусть
,
тогда из равенства (3) следует:
.
(4)
Из
равенства (4) следует, что вектор
раскладывается по базису
,
т.е. вектор
лежит в плоскости векторов
и, следовательно, векторы
компланарные, что противоречит условию.
б)
Остается случай
,
т.е.
.
Тогда из равенства (3) получаем
или
Так
как
–
базис пространства векторов лежащих в
плоскости, а мы уже доказали единственность
разложения по базису векторов плоскости,
то из равенства (5) следует, что
и
,
ч.т.д.
Теорема доказана.
Следствие.
1) Существует
взаимно однозначное соответствие между
множеством векторов векторного
пространства
и множеством действительных чисел R.
2) Существует
взаимно однозначное соответствие между
множеством векторов векторного
пространства
и декартовым квадратом
3) Существует
взаимно однозначное соответствие между
множеством векторов векторного
пространства
и декартовым кубом
множества действительных чисел R.
Доказательство. Докажем третье утверждение. Первые два доказываются аналогично.
Выберем и зафиксируем
в пространстве
какой-нибудь базис
и устроим отображение
по следующему правилу:
т.е. каждому вектору поставим в соответствие упорядоченный набор его координат.
Так как при фиксированном базисе каждый вектор имеет единственный набор координат, то соответствие, задаваемое правилом (6) действительно является отображением.
Из доказательства теоремы следует, что различные векторы имеют различные координаты относительно одного и того же базиса, т.е. отображение (6) является инъекцией.
Пусть
произвольный упорядоченный набор
действительных чисел.
Рассмотрим вектор
.
Этот вектор по построению имеет координаты
.
Следовательно, отображение (6) является
сюръекцией.
Отображение, которое одновременно инъективное и сюръективное является биективным, т.е. взаимно однозначным, ч.т.д.
Следствие доказано.
Теорема. (О равенстве двух векторов.)
Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты относительно одного и того же базиса.
Доказательство сразу же вытекает из предыдущего следствия.
п.3. Размерность векторного пространства.
Определение. Число векторов в базисе векторного пространства называется его размерностью.
Обозначение:
–
размерность векторного пространства
V.
Таким образом, в соответствие с этим и предыдущими определениями, имеем:
1)
–
векторное пространство векторов прямой
L.
–
базис
,
,
,
– разложение вектора
по базису
,
– координата вектора
относительно базиса
.
2)
–
векторное пространство векторов
плоскости Р.
– базис
,
,
,
– разложение вектора
по базису
,
– координаты вектора
относительно базиса
.
3)
–
векторное пространство векторов в
пространстве точек S.
–
базис
,
,
– разложение вектора
по базису
,
–
координаты вектора
относительно базиса
.
Замечание. Если
,
то
и можно выбрать базис
пространства
так, что
– базис
и
–
базис
.
Тогда
,
и
,
.
Таким образом,
любой вектор прямой L,
плоскости Р и пространства S
можно разложить по базису
:
Обозначение. В силу теоремы о равенстве векторов, мы можем отождествить любой вектор с упорядоченной тройкой действительных чисел и писать:
Это
возможно лишь том случае, когда базис
фиксирован и нет опасности спутаться.
Определение.
Запись вектора в виде упорядоченной
тройки действительных чисел называют
координатной формой записи вектора:
.
п.4. Линейные операции с векторами в координатной форме записи.
Пусть
–
базис пространства
и
– два его произвольных вектора. Пусть
и
– запись этих векторов в координатной
форме. Пусть, далее,
–
произвольное действительное число. В
этих обозначениях имеет место следующая
теорема.
Теорема. (О линейных операциях с векторами в координатной форме.)
2)
.
Другими словами, для того, чтобы сложить два вектора нужно сложить их соответствующие координаты, а чтобы умножить вектор на число, нужно каждую координату данного вектора умножить на данное число.
Доказательство. Так как по условию теоремы , , то используя аксиомы векторного пространства, которым подчиняются операции сложения векторов и умножения вектора на число, получаем:
Отсюда следует .
Аналогично доказывается второе равенство.
Теорема доказана.
п.5. Ортогональные векторы. Ортонормированный базис.
Определение.
Два вектора называются ортогональными,
если угол между ними равен прямому углу,
т.е.
.
Обозначение:
– векторы
и
ортогональны.
Определение.
Тройка векторов
называется ортогональной, если эти
векторы попарно ортогональны друг
другу, т.е.
,
.
Определение.
Тройка векторов
называется ортонормированной, если она
ортогональная и длины всех векторов
равны единице:
.
Замечание. Из определения следует, что ортогональная и, следовательно, ортонормированная тройка векторов является некомпланарной.
Определение.
Упорядоченная некомпланарная тройка
векторов
,
отложенных от одной точки, называется
правой (правоориентированной), если при
наблюдении с конца третьего вектора
на плоскость, в которой лежат первые
два вектора
и
,
кратчайший поворот первого вектора
ко второму
происходит против часовой стрелки. В
противном случае тройка векторов
называется левой (левоориентированной).
Здесь,
на рис.6 изображена правая тройка векторов
.
На следующем рис.7 изображена левая
тройка векторов
:
Определение.
Базис
векторного пространства
называется ортонормированным, если
ортонормированная тройка векторов.
Обозначение.
В дальнейшем мы будем пользоваться
правым ортонормированным базисом
,
см. следующий рисунок.
Выражение вида называется линейной комбинацией векторов A 1 , A 2 ,...,A n с коэффициентами λ 1, λ 2 ,...,λ n .
Определение линейной зависимости системы векторов
Система векторов A 1 , A 2 ,...,A n называется линейно зависимой , если существует ненулевой набор чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n , при котором линейная комбинация векторов λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n равна нулевому вектору , то есть система уравнений: имеет ненулевое решение.
Набор чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n отлично от нуля.
Определение линейной независимости системы векторов
Пример 29.1Система векторов A 1 , A 2 ,...,A n называется линейно независимой , если линейная комбинация этих векторов λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ 1, λ 2 ,...,λ n , то есть система уравнений: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ имеет единственное нулевое решение.
Проверить, является ли линейно зависимой система векторов
Решение :
1. Составляем систему уравнений :
2. Решаем ее методом Гаусса . Преобразования Жордано системы приведены в таблице 29.1. При расчете правые части системы не записываются так как они равны нулю и при преобразованиях Жордана не изменяются.
3. Из последних трех строк таблицы записываем разрешенную систему, равносильную исходной системе:
4. Получаем общее решение системы :
5. Задав по своему усмотрению значение свободной переменной x 3 =1, получаем частное ненулевое решение X=(-3,2,1).
Ответ: Таким образом, при ненулевом наборе чисел (-3,2,1) линейная комбинация векторов равняется нулевому вектору -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Следовательно, система векторов линейно зависимая .
Свойства систем векторов
Свойство (1)
Если система векторов линейно зависимая, то хотя бы один из векторов разлагается по остальным и, наоборот, если хотя бы один из векторов системы разлагается по остальным, то система векторов линейно зависимая.
Свойство (2)
Если какая-либо подсистема векторов линейно зависимая, то и вся система линейно зависимая.
Свойство (3)
Если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.
Свойство (4)
Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависимая.
Свойство (5)
Система m-мерных векторов всегда является линейно зависимой, если число векторов n больше их размерности (n>m)
Базис системы векторов
Базисом системы векторов A 1 , A 2 ,..., A n называется такая подсистема B 1 , B 2 ,...,B r (каждый из векторов B 1 ,B 2 ,...,B r является одним из векторов A 1 , A 2 ,..., A n) , которая удовлетворяет следующим условиям:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r линейно независимая система векторов;
2. любой вектор A j системы A 1 , A 2 ,..., A n линейно выражается через векторы B 1 ,B 2 ,...,B rr — число векторов входящих в базис.
Теорема 29.1 О единичном базисе системы векторов.Если система m-мерных векторов содержит m различных единичных векторов E 1 E 2 ,..., E m , то они образуют базис системы.
Алгоритм нахождения базиса системы векторов
Для того, чтобы найти базис системы векторов A 1 ,A 2 ,...,A n необходимо:
- Составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
- Привести эту систему
