Основные события жизни:

1802 г. - поступил в Казанскую гимназию.

1807 г. - переведен в студенты университета.

1816 г. - Н.И. Лобачевский в возрасте 23 лет становится профессором.

1816-1817 гг. - Н.И. Лобачевский впервые подошел к вопросу об аксиоме параллельных.

1819 г. - Н.И. Лобачевского избирают деканом Казанского университета.

1822 г. - Н.И. Лобачевский становится членом строительного комитета по приведению в порядок старых и постройке новых университетских зданий.

1827 г. - Н.И. Лобачевский становится ректором университета.

1832 г. - женитьба на Варваре Алексеевне Моисеевой.

1842 г. - Н.И. Лобачевский избран членом-корреспондентом Геттингенского королевского общества наук.

1846 г. - Н.И. Лобачевского увольняют с должности ректора Казанского университета.

1847 г. - Н.И. Лобачевский отстранен от всех своих обязанностей по университету.

1856 г.12 (24) февраля - Великий русский математик Н.И. Лобачевский скончался от паралича легких.

В студенческие годы Н.И. Лобачевский отличался не только горячим увлечением наукой и упорными научными занятиями, но и многочисленными шалостями и проказами, к которым подталкивал юношу его необыкновенно живой и непоседливый характер. Университетское начальство отмечало и более серьезные проступки студента Лобачевского: «вольнодумство и мечтательное о себе самомнение, упорство» и даже «возму¬тительные поступки... оказывая которые в значительной сте¬пени явил признаки безбожия».

За все это Н.И. Лобачевский едва не поплатился исключением из университета, и только усиленные ходатайства казанских профессоров-математиков дали ему возможность окончить его. Дальнейшая его карьера развивается стремительно: в 21 год Н.И. Лобачевский - адъюнкт, а в 23 года - профессор.

Так началась его научная деятельность, многогранная, полная непреклонной энергии и страстного увлечения. Много сил отдал Н.И. Лобачевский организации и строительству Казанского университета, которым он руководил впоследствии в течение 20 лет. Одно лишь перечисление различных университетских должностей, занимаемых Н.И. Лобачевским, дает представление о размахе его университетской работы.
В конце 1819 года его избирают деканом. Одновременно на него ложатся обязанности по приведению в порядок университетской библиотеки, находившейся в невероятно хаотическом состоянии. Из-за отъезда профессора Симонова в кругосветное путешествие Н.И. Лобачевскому целых два учебных года приходится читать физику, метеорологию и астрономию. Между прочим, Н.И. Лобачевский и в дальнейшем никогда не терял интереса к физике и не отказывался не только от преподавания ее в университете, но и от чтения популярных лекций по физике, сопровождавшихся тщательно и интересно подготовленными опытами.

При нем были построены новые университетские здания. Увлекшись строительным делом, Н.И. Лобачевский тщательно изучает архитектуру как с инженерно-технической, так и с художественной стороны. Многие наиболее удачные в архитектурном отношении здания Казанского университета - анатомический театр, библиотека, обсерватория - являются осуществлением строительных замыслов Н.И. Лобачевского.

В 1827 году Н.И. Лобачевский становится ректором университета и занимает этот пост 19 лет. Вскоре на долю молодого ректора выпали нелегкие испытания.
В 1830 году в Поволжье свирепствовала холерная эпидемия, унесшая многие тысячи жизней. Когда холера достигла Казани, Н.И. Лобачевский сразу же принял в отношении университета героические меры: университет был фактически изолирован от всего остального города и превращен в крепость. Было организовано проживание и питание студентов на самой университетской территории - все это при самом деятельном участии ректора. Успех был блестящий - эпидемия прошла мимо университета. Энергичная самоотверженная работа Н.И. Лобачевского по борьбе с холерой произвела на все тогдашнее общество столь большое впечатление, что даже официальные инстанции сочли нужным ее отметить. Н.И. Лобачевскому было выражено «высочайшее благоволение» за усердие по предохранению университета и других учебных заведений от холеры.

Другим бедствием, разразившимся над Казанью, был страшный по своим опустошительным последствиям пожар в 1842 году. Во время этого ужасного пожара, уничтожившего огромную часть города, Н.И. Лобачевский вновь проявил чудеса энергии и распорядительности при спасении от огня университетского имущества. В частности, ему удалось сохранить библиотеку и астрономические инструменты.

Н.И. Лобачевский, вероятно, самый крупный по своим свершениям человек в двухсотлетней истории русских университетов. Если бы он не написал ни одной строчки самостоятельных научных исследований, мы тем не менее должны были бы с благодарностью вспомнить о нем как о замечательнейшем нашем университетском деятеле, как о человеке-подвижнике. Но Н.И. Лобачевский, кроме того, был еще и гениальным ученым.

Основная научная заслуга Н.И. Лобачевского заключается в создании так называемой «аксиомы параллельных». Все знания геометрической науки того времени покоились на выводах Евклида. Евклид считал, что на плоскости к данной прямой можно через данную, не лежащую на этой прямой, точку провести только одну параллельную прямую. Н.И. Лобачевский вывел стройную и безупречную систему, обладающую тем же логическим совершенством, что и обычная евклидова геометрия. Им была создана неевклидова геометрия, или геометрия Лобачевского.

Н.И. Лобачевский был первым, кто взглянул на математику как на опытную науку, а не как на абстрактную логическую схему. Он был первым, кто ставил опыты для измерения суммы углов треугольника; первым, кто сумел отказаться от тысячелетнего предрассудка незыблемости геометрических истин.

Значение самого факта создания неевклидовой геометрии для всей современной математики и естествознания колоссально, и английский математик Клиффорд, назвавший Н.И. Лобачевского «Коперником геометрии», ничуть не преувеличивал. Н.И. Лобачевский разрушил догму «неподвижной, единственно истинной евклидовой геометрии» так же, как Коперник разрушил догму о неподвижной, составляющей незыблемый центр Вселенной - Земле.

Если 20-е и 30-е годы XIX века были периодом высшего расцвета творческой деятельности Н.И. Лобачевского, то с середины 40-х годов, и притом совершенно внезапно для Н.И. Лобачевского, наступает период бездействия и старческого догорания. Основным событием, принесшим с собою этот трагический перелом в жизни Н.И. Лобачевского, было увольнение его 14 августа 1846 года с должности ректора. Это увольнение произошло без желания Н.И. Лобачевского и вопреки ходатайству совета университета. Почти одновременно произошло и увольнение его с должности профессора математики, так что с весны 1847 года Н.И. Лобачевский оказался отстраненным фактически от всех своих обязанностей по университету.

Вполне понятно, что Н.И. Лобачевский, для которого работа в университете была большой и незаменимой частью его жизни, воспринял свою отставку как тяжелый, непоправимый удар. Особенно тяжел был этот удар, конечно, потому, что он разразился в ту пору жизни Н.И. Лобачевского, когда его творческая научная работа была в основном уже завершена и, следовательно, университетская деятельность становилась основным содержанием его жизни. Личные горести дополнили чашу: умер любимый сын Н.И. Лобачевского, взрослый юноша, по свидетельству современников очень похожий на отца и внешностью, и характером. С этим ударом Н.И. Лобачевский никогда уже не смог справиться. Началась старость - преждевременная, но тем более гнетущая, с усиливавшимися признаками парадоксально раннего одряхления. Он стал терять зрение и к концу своей жизни совершенно ослеп. Последнее произведение - «Пангеометрия» - было им уже продиктовано. Н.И. Лобачевский умер 24 февраля 1856 года.

Поэтому при своей жизни Н.И. Лобачевский попал в тяжелое положение «непризнанного ученого». Впрочем, не следует винить современников Лобачевского: его идеи далеко опередили его время. Из иностранных математиков лишь знаменитый немец Гаусс понял эти идеи. По представлению Гаусса Лобачевский был избран в 1842 году членом-корреспондентом Геттингенского королевского общества наук.

Если право на бессмертие в истории науки Н.И. Лобачевский, несомненно, завоевал своими геометрическими работами, то не следует все же забывать, что и в других областях математики он опубликовал ряд блестящих работ по математическому анализу, алгебре и теории вероятностей, а также по механике, физике и астрономии.

ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО И НОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ ФИЗИКИ

(вступительная статья к сборнику,

посвящённому 200-летию Н.И.Лобачевского)

ДМИТРИЙ ДМИТРИЕВИЧ ИВАНЕНКО

Текст печатается по изданию 1993 года, сборник "Неевклидовы пространства и новые проблемы физики. Сборник статей, посвящённых 200-летию Н.И.Лобачевского", Москва, "Белка", стр 3.

LOBACHEVSKY GEOMETRY AND NEW PROBLEMS IN PHYSICS

DMITRI DMITRIEVICH IVANENKO

В 1992 году математики, физики, а также астрономы России отмечали 200-летие со дня рождения великого гения нашей отечественной науки, одного из крупнейших математиков всех времен Николая Ивановича Лобачевского. Главным центром юбилея стал Казанский университет, профессором и ректором которого много лет стоял Лобачевский, и который по справедливости должен носить имя своего знаменитого воспитанника и руководителя.

Задачей нашей вступительной статьи к сборнику работ, посвященных, главным образом, ряду связей современной физики с неевклидовой геометрией Лобачевского, является краткая информация о праздновании юбилея, сообщения о менее известной новейшей литературе, а также некоторые пояснения к статьям сборника.

История установления первой неевклидовой геометрии не только весьма интересна для изучения процесса развития науки, но связана и с личными обстоятельствами как из жизни Лобачевского, труды которого были не поняты и отвергнуты Петербургской Академией Наук в отзыве Остроградского, явились предметом нелепой публикации в реакционном журнале "Сын Отечества" и издевательских замечаний в кругах казанцев (см., например, недавнюю книгу "Дар" В.Набокова), так и драматической судьбы венгерского математика Больяй, несколько позднее пришедшего к установлению основ того же варианта новой геометрии и, не будучи признанным Гауссом, даже подвергшемуся нервному заболеванию. Позиция Гаусса, короля математиков первой половины XIX века, который также получил основные неевклидовы соотношения, однако не опубликовал буквально ни слова из своих соотношений, сообщая их только в письмах и своих частных дневниках, ставших известными после его кончины, по-видимому, все же не будучи окончательно уверен в правильности своих результатов, остается неясной. Вместе с тем, Гаусс обратил большое внимание на труды Лобачевского, стал даже изучать русский язык для лучшего знакомства с ними, был инициатором избрания казанского ученого в 1842 году членом Геттингенского научного общества (типа "малой Академии"), хотя странным образом уклонился от переписки с Лобачевским. Официальное прижизненное признание в России Лобачевский получил лишь в высокой оценке своей геометрии в актовой речи казанского профессора П.И. Котельникова.

Несмотря на все это, Лобачевский, уже как ректор университета, продолжал развивать и публиковать свои результаты, в том числе и на французском, а в книге 1840 года, изданной в Германии, на немецком языке.

В дальнейшем ученые славного Казанского университета, одного из старейших в России, основанного всего через пятьдесят лет после Московского, Ф.М.Суворов, А.В.Васильев, А.П.Котельников, П.А.Широков, Н.Н.Парфентьев, в наше время А.П.Норден, Б.Л.Лаптев, были в первых рядах популязаторов неевклидовой геометрии и изучения биографии ее основателя. Как известно, геометрия Лобачевского, непротиворечивость которой исследовали Бельтрами, Пуанкаре, сыграла огромную роль во всей современной математике, и фактически в теории геометризованной гравитации Марселя Гросмана-Гильберта-Эйнштейна (1913-1915). Довольно неожиданно, еще раньше была установлена связь кинематики Лоренца-Пуанкаре с геометрией Лобачевкого. В 1909 году Зоммерфельд показал, что закон сложения скоростей данной кинематики связан с геометрией сферы мнимого радиуса (подобное соотношение уже отмечали Лобачевский и Больяй). В 1910 г. Варичак указал на аналогию данного закона сложения скоростей и сложения отрезков на плоскости Лобачевского. Ф.Клейн доказал, что группа Лоренца, как основа кинематики Лоренца-Пуанкаре, изоморфна группе изометрий пространства Лобачевского. Эти связи с физикой в наше время исследовал НА.Черников (ОИЯИ, Дубна), и в совсем недавней работе, доложенной на нашем семинаре, ЯА.Смородинский. Отсюда понятно, почему в Казанском университете образована кафедра гравитации, единственный вузовский центр с таким наименованием, созданный, как позволю себе отметить, по нашему предложению. Этот центр работает наряду с исследованиями гравитации в других российских и зарубежных университетах, и для автора этих строк является очень ценным его избрание почетным членом этой успешно и интенсивно работающей кафедры, о чем было сообщено ее руководителем В.Р.Кайгородовым на конференции физического факультета МГУ в 1984 году.

Среди огромной литературы по геометрии Лобачевского и другим неевклидовым вариантам отметим устные доклады о параллельных линиях в древние и средние века (Г.П.Матвиевская, Ташкент) и о "неевклидовой геометрии во второй половине XIX века и в XX веке" (БА.Розенфельд). Эти доклады были сделаны на конференции в Казани (1976 г.) посвященной 150-летию геометрии Лобачевского. Наряду с математическими сообщениями, некоторые вопросы, касающиеся связи с новейшей физикой, рассмотрели НА.Черников, Л.С.Кузьменков, Я.Б.Зельдович совместно с Д.Д.Соколовым и АА.Старобинским, Д.Д.Иваненко. Здесь следует кратко подчеркнуть огромный размах трудов Лобачевcкого, охвативших вопросы о неясности 5-го постулата Евклида, об аксиомах параллельных, о сумме углов треугольника, об априоризме постулатов геометрии у Канта, о возможности иных геометрий на малых расстояниях, о связи геометрии с физикой (механикой) и другие. Самым поразительным, на наш взгляд, является указание Лобачевского на связь его геометрии с физикой и первое реальное определение суммы углов треугольника с громадными астрономическими размерами порядка поперечника земной орбиты, с использованием только что полученных из данных о параллаксах расстояний до звезд; полученные отклонения от суммы углов 180° оказались не превышающими 0”000004, то есть на этих космологических расстояниях была еще справедлива евклидова геометрия. На самом же деле, как выяснилось гораздо позже, поправки, полученные в рамках теории, основанной именно на неевклидовой геометрии, оказались заметными даже внутри планетной системы, объяснив знаменитую аномалию движения Меркурия, обнаруженную в XIX столетии Леверье.

Перейдем к юбилеям 1992 года. Первое место заняла научная конференция "Лобачевский и современная геометрия" (Казань, 18-22 августа) на базе университета, с участием небольшого числа иностранных ученых и продолжившая конференции, связанные со столетним и 150-летним, организованным А.В.Васильевым, юбилеями установления неевклидовой геометрии в феврале 1826 года. Главными организаторами конференции 1992 года явились профессор В.В.Вишневский (математик, декан факультета) и профессор В.Р.Кайгородов (заведующий кафедрой гравитации).

В двух сборниках были опубликованы подробные тезисы нескольких сотен докладов, вновь показавших высокий уровень отечественной математики. Конференция была разделена на следующие секции: "Геометрия и топология", с пятью подсекциями; "Теория относительности и гравитации"; "История и философия математики"; и секция, посвященная другим вопросам. Среди докладов, близких к физике, отметим сообщение В.М.Мостепаненко и И.Ю.Соколова (Санкт-Петербург) о новых гипотетических силах; М.МАбдильдина (Алма-Ата, ученик ВА. Фока) о движении тел в теории гравитации; В.Г.Багрова (Томск) с сотрудниками об уравнениях Дирака; Ю.С.Владимирова о бинарном варианте единой теории; важные сообщения были посвящены экспериментам, в том числе о казанском проекте детектора, строительство которого уже началось. Ряд интересных сообщений был посвящен биографии Лобачевского, связям с философией, преподаванию в школах. Э.Г.Позняк совместно с А.Г.Поповым установили интересные связи неевклидовости и ряда основных нелинейных уравнений физики, в том числе Кортвега-де Фриза и синус-Гордона. Подробное сообщение по этим проблемам А.Г.Попов сделал позднее на нашем семинаре. Ряд стимулирующих докладов был связан со струнами и квантовыми проблемами. Обзор некоторых вариантов единой теории сделала Н.П.Коноплева. Учет вращения Вселенной был проведен в докладах В.Ф.Панова (Пермь) и Ю.Г.Сбытова (Москва), что является развитием работ по вращению нашей группы (Ю.Н.Обухова. ВА.Короткого и других). В связи с нашими недавними работами по квазикристаллической трактовке космологической материи, в связи с открытием в ее плазме своеобразной "решеточной" структуры, представляет большой интерес доклад Р.В.Галиулина (институт кристаллографии, РАН, Москва) и В.С.Макарова (Кишинев) о квазикристаллах как идеальных федоровских кристаллах, но в пространстве Лобачевского.

Из современной огромной литературы, связанной с историей и развитием неевклидовой геометрии, обратим внимание на исследования С.Чичениа, сотрудника группы истории физики при факультете физических наук университета Неаполя; ряд докла-дов он сделал на национальных итальянских конференциях (при Итальянском Физическом Обществе), посвященных истории физики. Так, на X конференции в Кальяри в 1989 году одно сообщение посвящено работам Анджело Дженокки по неевклидовой механике. С.Чичениа везде подчеркивает физические основы геометрии Ло¬бачевского, конечно, отмечая работы Бельтрами 1868 года, открывшего математикам значение не известных широко результатов Казанского профессора.

Предыдущий доклад С.Чичениа был сделан на VIII конференции. Другой его интересный доклад на X конференции прямо носит название "физическая геометрия согласно Лобачевскому". В списке литературы приводятся все главные работы Лобачевского (в том числе и в итальянских переводах: Турин 1978г. и другие). На XI итальянской конференции по истории физики в 1990 году в Тренто С.Чичениа делает доклад "Тригонометрия как физическая теория в трудах Л.Карно и Лобачевского (стр.91-98 трудов конференции). Вопросы, связанные с Лобачевским, рассматриваются также в докладе "Французская революция и наука" А.Драго (из той же группы в Неаполе) на X конференции по истории физики (стр. 111). Все эти доклады снабжены обширной литературой. Для пояснения напомним, что речь идет о математических трудах Лазаря Карно (отца знаменитого основателя термодинамики Сади Карно, политического деятеля, члена Конвента, уцелевшего при терроре, министре при Директории, одном из организаторов революционной армии. А.Драго подчеркивает связи концепций Лобачевского с трудами и идеями Л.Карно о геометрии как "физической" науке, основанной с измерениями реальных объектов", которые, как он указывает, были известны в европейских статьях и в Казани (см. также доклад Драго на 8-ой конференции, посвященной философии и математике, в Москве 1987г.). В докладе с Д.Манно (из той же группы в Неаполе) на 11-й итальянской конференции обсуждаются труды Л.Карно и его трактовка "сил" в ньютоновских "Началах" (стр.339).

В целом, не имея широкого международного характера, казанская конференция августа 1992 года, по всей видимости, явилась ценным предприятием, стимулирующим дальнейшие исследования. Вместе с тем, Казанский университет и правительственные органы организовали удачные юбилейные заседания, непосредственно связанные с юбилейным днем Первого декабря.

Московский университет с его физическим и механико-математическим факультетами и специальным заседанием Ректорского совета также посвятили юбилею Лобачевского заседания.
К сожалению, нам не удалось придать юбилею великого гения русской науки столь необходимый для всей страны общегражданский характер. Даже центральная пресса (например, газета "Известия") отказалась публиковать хотя бы краткую информацию, еще раз подтверждая далеко не достаточное внимание к фундаментальной науке и образованию в нашей стране, что очень опасно для ее культуры и, вместе с тем, экономики.

Остановимся теперь коротко на ряде статей настоящего сборника.

Одни из его статей непосредственно связаны с трудами Лобачевкого. К таким относятся, например, интересные работы В.Ю.Колоскова по установлению новых геометрий нецелой размерности, важных еще и с точки зрения физических приложений и теории гравитации; в том числе и неевклидовых геометрий. Здесь следует отметить и статью НА.Черникова о новом классе теорий гравитации, непосредственно связанных с геометрией Лобачевского, а также результаты Э.Г.Позняка и А.Г.Попова, изучивших ряд нелинейных уравнений в связи с геометрией Лобачевского, которые в данном сборнике со своей стороны подтверждают связи неевклидовой геометрии с физикой.

Другие работы отмечают косвенное значение новой геометрии для физики. Так, статья Я.П.Терлецкого о "негатонной материи", построенной из частиц отрицательной массы, продолжает его идеи о комплексной массе и тахионах. Работа М.Ю.Константинова посвящена некоторым вопросам, касающимся свойств неевклидовых топологически нетривиальных моделей пространства-времени. Эти вопросы неразрывно связаны с важной проблемой неустойчивости принципа относительности по топологии (стр. 65-66 данного сборника). Интересны статьи, исследующие нелинейные уравнения. Ю.П.Рыбаков рассматривает солитонные решения в аналогии с частицами, учитывая идеи де Бройля; Г.Н.Шикин, совместно с Ю.П.Рыбаковым и Б.Сахой, получают новые точные решения нелинейных уравнений спинорного поля в пространстве Бианки I. Здесь представляет особый интерес новое применение спинорной нелинейности, которая впервые была введена в нашей работе 1938 года в виде добавочного кубического члена в уравнении Дирака, что, очевидно, соответствует добавке члена 4-го порядка в Лагранжиане; затем, совместно с А.Бродским, мы рассмотрели эти нелинейности с различными дираковскими матрицами и указали вместе с М.Мирианашвили (академик Грузии) возникновение подобной нелинейности, ввиду новых аргументов, и применили нелинейное уравнение в совместных работах с Нгуен Гок Зао (ныне руководитель университета в городе Хошимин в Южном Вьетнаме), с Д.Ф.Курдгелаидзе и другими сотрудниками. Наше уравнение рассматривали также многие зарубежные авторы, получив солитонные решения и другие интересные следствия. Особое внимание уделил спинорной нелинейности Гейзенберг, взяв его в качестве основного уравнения праматерии, из которой должны были быть построены все элементарные частицы за счет нелинейного самодействия. Эта возможность была ранее указана нами, и после работ Гейзенберга, который учел изоспиновую симметрию и применил метод расчета Тамма-Данкова, мы вновь, со своей стороны, учитывая модель кварков, включились в построение на этой базе Единой теории. Гейзенберг в одной из своих личных публикаций по этому варианту единой теории, а также совместных с Дюрром, Асколи, Ямадзаки и другими, назвал наши первоначальные нелинейные спинорные уравнения "предшественником" своей теории; и неоднократно ссылался на них в своих докладах на юбилейной конференции 1958г., посвященной Планку; на международной "рочестерской" конференции по строению материи (Киев, 1959 г.) и других. Известно, что Паули, сперва присоединившийся к варианту Гейзенберга, затем от него отказался, и все же ряд авторов в обозначении основного нелинейного уравнения сохраняют имя Паули, например, Э.Мильке в своей книге (1966г., английский текст, Германия), где он неоднократно рассматривает и наши работы по данной проблеме. А.Перес называет основное нелинейное соотношение уравнением "Гейзенберга-Паули-Иваненко" (Дополнение к "Нуово Чименто", том 24, стр. 189,1962г.). В важной работе В.Кречета-В.Пономарева (Физике Леттерз, А56, стр.74,1976г.; и другие работы этих авторов), а также в других работах близких авторов, авторами уравнения и основ данной Единой теории специально отмечаются Иваненко и Гейзенберг. Как известно, Гейзенберг посвятил своему варианту все последние годы работы, начиная примерно с 1955г. В Мюнхене и Московском университете удалось получить массы и спины основных адронов и мезонов, и даже при дополнительном соотношении константу тонкой структуры со значением в ряде расчетов 1/115 – 1/120, то есть близко к требуемому 1/137.

Нгуен Гок Зао подсчитал свойства омега-частицы. Хотя эта теория, конечно, уступает теории кварков с ее точными предсказаниями тяжелых мезонов и другими успехами, на наш взгляд нелинейное спинорное уравнение как основное единое динамическое соотношение, вместе с получением качественного спектра частиц, должно быть учтено в моделях кварков и преонов в современных вариантах попыток построения Единой теории, поскольку Единая теория – это сложнейший комплекс проблем, который включает идеи как самого Лобачевского, так и целого ряда ученых, в том числе мысли Вернадского и концепцию Сереброва.

Так или иначе, наше с Гейзенбергом уравнение, независимо от Единой теории, обладая новыми интересными свойствами, по справедливости уже вошло в математическую физику и рассматривается в статьях и книгах (того же Э.Мильке, В.И.Фушича (Киев), другими авторами).

В статье Ю.С.Владимирова, развивающего бинарную геометризованную физику, геометрия Лобачевского возникает как частный случай. Этот вариант интересен также как своеобразное развитие махианства, поскольку, также с нашей точки зрения, фундаментальные симметрии должны проявляться в структуре Вселенной, как и в космологии и в атомной физике; на промежуточном уровне - в гигантских биологических молекулах, в частности поясняя известную "правую-левую" асимметрию. Недавно Абдус Салам в беседах с нами в Триесте в 1990 году и записях в публикациях информировал о своей гипотезе объяснить биологическую асимметрию на базе квантовой трактовки четности, тогда как мы пытались связать ее с космологическими асимметриями Вселенной (протоны-антипротоны, расширение Вселенной и тому подобное), а ныне считаем возможным объединить эти два подхода.

Предложенная нами в данном сборнике статья (совместно Антонюк-Галиулин-Иваненко-Макаров) развивают опубликованную в Астрономическом Циркуляре (№ 1553, октябрь 1992 г.) статью о квазикристаллической структуре Вселенной, возможно, объясняющую частично открытые в ней особые периодичности и своеобразную "решеточную" структуру, во всяком случае указывающую наличие структур, разрушающих концепцию однородной плазмы, как принято обычно, плазмы Вселенной. Не входя в детали, поясним на базе недавних результатов профессора Моран-Лопеса, мексиканского физика, и его сотрудников из университета имени Сан Луиса Потози (институт физики имени М.С.Валларта). Речь идет о докладе, в 1990 году сделанном в Международном Центре теоретической физики в Триесте Абдуса Салама, когда профессор Моран-Лопес был награжден премией этого центра.

Еще в 1984 году Шехтман открыл дифракционную картину в соединениях алюминия-марганца, указывающую на симметрию пятого порядка, невозможную в стандартных кристаллах. Подобные образования были названы квазикристаллами (фаза не обычная кристаллическая и не аморфная). Вслед за этим были обнаружены структуры с другими нестандартными симметриями (установленными в теории Федорова-Шенфлиса). Пенроуз (1973) и Мак Кэй (1982) рассмотрели математизированную трактовку подобных объектов. Интересно, что кристаллы не образуются только из одного типа элементов (Моран-Лопес, 1987г.). Для трактовки квазикристаллической периодичности Р.В.Галиулин применил системы Делоне, в которых имеется минимальное неисчезающее расстояние между двумя точками, из них получается структура Федорова как частный случай. Возникла гипотеза, которая на наш взгляд может явиться разумным приближением, что, во всяком случае частично, "решеточная" структура Вселенной может описываться системами Делоне. С другой стороны, как было сообщено в докладе на Казанской конференции (Р.В.Галиулин и В.С.Макаров), квазикристалл можно рассматривать как кристалл пространства Лобачевского; отсюда возникает наглядная возможность пятерной симметрии. В нашей статье рассматриваются указанные трактовки квазикристаллов, что было бы весьма интересно применить для реально наблюдаемой структуры Вселенной. Трудности начальной сингулярности, открытие "решеточной" структуры и необходимость допустить наличие неевклидовой части Вселенной неясного еще состава, допущение инфляционной до-Фридмановской фазы эволюции составляют главные части нынешнего, как можно сказать, третьего фундаментального этапа трактовки Вселенной, для предварительного понимания которого мы и предлагаем учесть гипотезы квазикристаллической структуры, описываемой с помощью систем Делоне и неевклидовой геометрии Лобачевского.

Идеи В.Ю.Колоскова о пространствах необычной размерности в его статье, со своей стороны, приводят к интересным вариантам допущения нестандартных Вселенных, притом также эволюционирующих во времени.

В первой его статье сообщается о построении обобщения евклидовых пространств на область нецелой размерности, и затем строится концепция новых пространств с размерностью, зависящей от положения, что является, фактически, новой реализацией идей Лобачевского о неевклидовости геометрии. Такие обобщения геометрии представляют большой интерес и с точки зрения физических приложений: в настоящее время актуальна проблема возможности отклонений размерности от первоначального, целого значения, в том числе незначительных, в сильных физических полях; независимо в локальном и глобальном масштабах.

В следующей работе В.Ю.Колоскова обсуждается построенная им гравитационно-подобная модель, которая, возможно, могла бы оказаться важной при описании гравитации. Эта модель основана на использовании псевдоевклидова многообразия, размерности пространства и времени которого могут меняться в зависимости от положения.

Заканчивая нашу вступительную статью, посвященную некоторым проблемам, обсуждаемым в настоящем сборнике, мы считаем вполне естественным рассматривать его как еще один скромный вклад, стимулированный гениальными идеями великого русского ученого Лобачевского, доказывающий непреходящую актуальность его идей и предсказаний и вновь подтверждающий близость неевклидовых геометрий к современной физике.

Д. Иваненко. Москва, 1992

Николай Иванович Лобачевский - выдающийся русский математик, на протяжении четырех десятков лет - ректор активист народного просвещения, основатель неевклидовой геометрии.

Это человек, который на несколько десятков лет опередил свое время и остался непонятым современниками.

Биография Лобачевского Николая Ивановича

Николай появился на свет 11 декабря 1792 года в малоимущей семье мелкого чиновника Ивана Максимовича и Прасковьи Александровны. Место рождения математика Николая Ивановича Лобачевского - Нижний Новгород. В 9-летнем возрасте, после смерти отца, он был перевезен матерью в Казань и в 1802 году принят в местную гимназию. После ее окончания в 1807 году Николай стал студентом только что основанного Казанского Императорского университета.

Под опекой М. Ф. Бартельса

Особую любовь к физико-математическим наукам будущему гению сумел привить Григорий Иванович Карташевский - талантливый преподаватель, глубоко знавший и ценивший свое дело. К сожалению, в конце 1806 года по причине разногласий с руководством университета «за проявление духа непокорности и несогласия» он был уволен с университетской службы. Курсы по математике стал вести Бартельс - учитель и друг знаменитого Карла Фридриха Гаусса. Прибывший в 1808 году в Казань, он взял покровительство над способным, но бедным студентом.

Новый преподаватель одобрил успехи Лобачевского, который под его наблюдением изучил такие классические труды, как «Теория чисел» Карла Гаусса и «Небесная механика» французского ученого Пьера-Симона Лапласа. За неповиновение, упорство и признаки безбожия на старшем курсе над Николаем нависла вероятность отчисления. Именно покровительство Бартельса поспособствовало отведению нависшей над одаренным студентом опасности.

в жизни Лобачевского

В 1811 году, по окончании Николай Иванович, краткая биография которого вызывает искренний интерес у молодого поколения, был утвержден магистром по математике и физике и оставлен при учебном заведении. Два научных исследования - по алгебре и механике, представленные в 1814 году (ранее срока), обусловили его возведение в адъюнкт-профессоры (доценты). Далее Лобачевский Николай Иванович, достижения которого впоследствии будут правильно оценены потомками, сам начал заниматься преподаванием, постепенно увеличивая круг читаемых им курсов (математика, астрономия, физика) и серьезно задумываясь о перестройке математических начал.

Студенты любили и высоко оценивали лекции Лобачевского, уже через год удостоившегося звания экстраординарного профессора.

Новые порядки Магницкого

С целью подавления вольномыслия и революционного настроя в обществе правительство Александра І стало опираться на идеологию религии с ее мистико-христианскими учениями. Первыми кардинальным проверкам подверглись университеты. В марте 1819 года в Казани с ревизией прибыл М. Л. Магницкий - представитель главного правления училищ, заботящийся исключительно о собственной карьере. По результатам его проверки состояние дел в университете оказалось крайне плачевным: недостаточная учёность воспитанников данного заведения влекла за собой причинение вреда обществу. Поэтому университет требовалось уничтожить (публично разрушить) - с целью поучительного примера для остальных.

Однако Александром І было принято решение исправить сложившуюся ситуацию руками этого же проверяющего, и Магницкий с особым рвением начал «наводить порядки» в стенах заведения: отстранил от работы 9 профессоров, ввел строжайшую цензуру лекций и суровый казарменный режим.

Широкая деятельность Лобачевского

Биография Лобачевского Николая Ивановича описывает сложный период установленной в университете церковно-полицейской системы, длившийся на протяжении 7 лет. Выдержать нелегкие испытания помогла сила непокорного духа и абсолютная занятость ученого, не оставлявшая ни минуты свободного времени.

Николай Иванович Лобачевский замещал Бартельса, покинувшего стены университета, и преподавал на всех курсах математику, также заведовал физическим кабинетом и читал данный предмет, обучал студентов астрономии и геодезии, пока И. М. Симонов находился в кругосветном путешествии. Огромный труд был вложен им в приведение в порядок библиотеки, а особенно наполнение ее физико-математической части. Попутно математик Николай Иванович Лобачевский, являясь председателем строительного комитета, руководил возведением главного корпуса университета и некоторое время занимал должность декана физико-математического факультета.

Неевклидова геометрия Лобачевского

Колоссальное число текущих дел, широкая педагогическая, административная и исследовательская работа не стали препятствием для творческой деятельности математика: из-под его пера вышли 2 учебника для гимназий - «Алгебра» (осужденная за применение и «Геометрия» (вовсе не опубликованная). Со стороны Магницкого за Николаем Ивановичем был установлен строгий надзор, по причине проявления ним дерзости и нарушения установленных инструкций. Однако и в этих условиях, действующих унизительно на человеческое достоинство, Лобачевский Николай Иванович упорно трудился над строгим построением геометрических основ. Результатом столь стало открытие ученым новой геометрии, совершенное на путях кардинального пересмотра понятий эпохи Евклида (ІІІ век до н. э.).

Зимой 1826 года русским математиком был осуществлен доклад о геометрических началах, переданный на отзыв нескольким именитым профессорам. Однако ожидаемой рецензии (ни положительной, ни даже отрицательной) не поступило, а рукопись ценного доклада до наших времен не дошла. Данный материал ученый включил в свой первый труд «О началах геометрии», напечатанный в 1829-1830 гг. в «Казанском вестнике». Помимо изложения важных геометрических открытий, Николай Иванович Лобачевский описал уточненное определение функции (четко разграничивая ее непрерывность и дифференцируемость), незаслуженно приписанное немецкому математику Дирихле. Также ученым были сделаны тщательные исследования тригонометрических рядов, оцененные несколько десятилетий спустя. Талантливый математик является автором метода численного решения уравнений, со временем несправедливо получившего название «метод Греффе».

Лобачевский Николай Иванович: интересные факты

Ревизора Магницкого, несколько лет наводившего страх своими действиями, ожидала незавидная участь: за множество злоупотреблений, выявленных специальной ревизионной комиссией, он был смещен с поста и выслан в ссылку. Очередным попечителем учебного заведения был назначен Михаил Николаевич Мусин-Пушкин, сумевший по достоинству оценить активную деятельность Николая Лобачевского и рекомендовавший его на должность ректора Казанского университета.

В течение 19 лет, начиная с 1827 года, Лобачевский Николай Иванович (фото памятника в Казани см. выше) усердно трудился на данном посту, добиваясь рассвета своего любимого детища. На счету Лобачевского - явное улучшение уровня научно-учебной деятельности в целом, строительство огромного числа служебных зданий (физический кабинет, библиотека, химическая лаборатория, астрономическая и магнитная обсерватория, механические мастерские). Также ректор является основателем строгого научного журнала «Ученые записки Казанского университета», заменившего «Казанский вестник» и впервые опубликованного в 1834 году. Параллельно с ректорством на протяжении 8 лет Николай Иванович руководил библиотекой, занимался преподавательской деятельностью, писал наставления учителям математики.

К заслугам Лобачевского нельзя не отнести его искреннюю сердечную заботу об университете и его учащихся. Так, в 1830 году он сумел изолировать учебную территорию и провести доскональную дезинфекцию, чтобы спасти от эпидемии холеры коллектив учебного заведения. Во время страшнейшего пожара в Казани (1842 год) сумел спасти практически все учебные здания, астрономические инструменты и библиотечные материал. Также Николай Иванович открыл широким массам свободное посещение университетской библиотеки и музеев и организовал занятия научно-популярной тематики для населения.

Благодаря неимоверным усилиям Лобачевского авторитетный, первоклассный, прекрасно оснащенный Казанский университет стал одним из лучших учебных заведений в России.

Непонимание и непринятие идей русского математика

Все это время математик не останавливался в проводимых исследованиях, направленных на развитие новой геометрии. К сожалению, его идеи - глубокие и свежие, настолько шли вразрез с общепринятыми аксиомами, что современники не сумели, а возможно, и не захотели по достоинству оценить труды Лобачевского. Непонимание и, можно сказать, в некоторой степени издевательства не остановили Николая Ивановича: в 1835 году он опубликовал «Воображаемую геометрию», а год спустя - «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам». Через три года свет увидел наиболее обширный труд «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», в котором содержалось лаконичное, предельно ясное изъяснение его ключевых идей.

Тяжелый период в жизни математика

Не получив понимания на родной земле, Лобачевский решил обзавестись единомышленниками за ее пределами.

В 1840 году Лобачевский Николай Иванович (фото см. в обзоре) напечатал свой труд с четко изложенными основными идеями на немецком языке. Один экземпляр данного издания был вручен Гауссу, который и сам негласно занимался неевклидовой геометрией, но так и не рискнул выступить публично со своими мыслями. Ознакомившись с трудами русского коллеги, немец порекомендовал избрать русского коллегу в Геттингенское королевское общество в качестве члена-корреспондента. Хвалебно о Лобачевском Гаусс отзывался только в собственных дневниках и в кругу самых доверенных людей. Избрание Лобачевского все-таки состоялось; произошло это в 1842 году, однако положения русского ученого оно никак не улучшило: ему оставалось работать в университете еще 4 года.

Правительство Николая І не захотело оценить многолетние труды Лобачевского Николая Ивановича и в 1846 году отстранило его от работы в университете, официально назвав причину: резкое ухудшение здоровья. Формально бывшему ректору была предложена должность помощника попечителя, однако без назначения жалования. Незадолго до снятия с должности и лишения профессорской кафедры Лобачевский Николай Иванович, краткая биография которого и сегодня изучается в учебных заведениях, рекомендовал вместо себя преподавателя Казанской гимназии А. Ф. Попова, отлично защитившего докторскую диссертацию. Николай Иванович считал необходимым дать правильную дорогу в жизни молодому способному ученому и находил неуместным занимать кафедру при таких обстоятельствах. Но, утратив все сразу и оказавшись в совершенно ненужной для себя должности, Лобачевский лишился возможности не только руководить университетом, но и хоть как-то участвовать в деятельности учебного заведения.

В семейной жизни Лобачевский Николай Иванович с 1832 года был женат на Варваре Алексеевне Моисеевой. В этом браке родились 18 детей, но выжили всего лишь семеро.

Последние годы жизни

Принудительное отстранение от дела всей его жизни, непринятие новой геометрии, грубая неблагодарность современников, резкое ухудшение материального положения (по причине разорения имение супруги было продано за долги) и семейное горе (потеря в 1852 году старшего сына) разрушающим образом отразились на физическом и духовном здоровье русского математика: он заметно осунулся и стал терять зрение. Но и ослепший Николай Иванович Лобачевский не прекращал посещать экзамены, приходил на торжественные события, участвовал в ученых диспутах и продолжал трудиться на благо науке. Главный труд русского математика «Пангеометрия» был записан учениками под диктовку ослепшего Лобачевского за год до его смерти.

Лобачевский Николай Иванович, открытия в геометрии которого были оценены лишь десятки лет спустя, являлся не единственным исследователем новой области математики. Венгерский ученый Янош Бойяи, независимо от русского коллеги, вынес на суд коллег в 1832 году свое видение неевклидовой геометрии. Однако и его труды не были оценены современниками.

Жизнь выдающегося ученого, целиком посвященная русской науке и Казанскому университету, закончилась 24 февраля 1856 года. Похоронили Лобачевского, так и не признанного при жизни, в Казани, на Арском кладбище. Лишь по прошествии нескольких десятилетий обстановка в научном мире изменилась кардинально. Огромную роль в признании и принятии трудов Николая Лобачевского сыграли исследования Анри Пуанкаре, Эудженио Бельтрами, Феликса Клейна. Понимание того, что у евклидовой геометрии появилась полновесная альтернатива, существенно повлияло на научный мир и придало стимул другим смелым идеям в точных науках.

Место и дата рождения Николая Ивановича Лобачевского известны многим современникам, имеющим отношение к точным наукам. В честь Николая Ивановича Лобачевского получил название кратер на Луне. Имя великого русского ученого носит научная библиотека университета в Казани, которому он посвятил огромный кусок своей жизни. Также улицы Лобачевского имеются во многих городах России, в том числе в Москве, Казани, Липецке.

Г // ¿-g^/, f."jj^M

В.И. Башков, M.А. Малахальцев Геометрия Лобачевского и современное научное мировоззрение

В.И. Башков", М.А. Малахальцев2

"Кафедра теории относительности и гравитации. Казанский университет 2Кафедра геометрии, Казанский университет [email protected], [email protected]

ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО И СОВРЕМЕННОЕ НАУЧНОЕ МИРОВОЗЗРЕНИЕ

Неевклидова геометрия, история ее создания и развития, судьбы ее творцов находились и находятся в центре

внимания историков математики, всего математического сообщества. Это неудивительно, поскольку открытие геометрии, отличной от евклидовой, привело не только, и не столько к преобразованию математической теории, но к кардинальному преобразованию мировоззрения человечества, философской картины мира. Можно смело утверждать, что мышление наших современников, даже тех, кто и не слышал о геометрии Лобачевского, сформировано под влиянием этого открытия.

В рамках короткой заметки, конечно, невозможно подробно рассказать ни об истории неевклидовой геометрии, ни раскрыть ее содержание. Впрочем, в настоящее время существует обширная литература на эту тему, для первого ознакомления можно посоветовать книги (Нор-ден, 1953; Васильев, 1992). Поэтому, наша цель здесь лишь попытаться в какой-то мере раскрыть значение открытия неевклидовой геометрии.

Сейчас уже трудно сказать, когда впервые человечество задумалось о необходимости логического обоснования математических правил. В течение долгого времени эти правила - фактически, результаты непосредственного опыта - передавались от поколения к поколению, сначала как тайные знания жрецов древнего Египта, потом как прикладные знания, необходимые для разметки земель и строительства различных сооружений. Исторические памятники, сохранившиеся до наших дней, свидетельствуют, что люди их создавшие владели геометрическими методами не хуже выпускников современной средней школы. Тем не менее, структура этих знаний была отлична от современной, не было той стройной логической системы, которой отличается современная математика. Вероятно в такой системе просто не было необходимости. Почему же такая необходимость появилась, в какой конкретной форме было первоначально осуществлено построение теории - вопрос непростой и достаточно активно обсуждаемый и в настоящее время (здесь стоит отметить одно из последних исследований (Pont, 1986)).

Первое сочинение, дошедшее до нас, но не непосредственно, а после многочисленных переписываний, есть «Начала» Евклида. В ней геометрия впервые предстает в виде логической системы, опирающейся на ряд утверждений, принимаемых без доказательства, назван-

Рис. 2. В неевклидовой геометрии через точку, не лежащую на прямой I, можно провести бесконечно много прямых, не пересекающих I.

ных аксиомами и постулатами (отметим, что различие между постулатами и аксиомами обсуждается, например, в (Pont, 1986)). В частности, формулируется и V постулат, гласящий (в современной формулировке), что через точку проходит не более одной прямой, не пересекающей данную. Этот постулат формулировался сложнее первых четырех, причем само утверждение о том, что (см. рис. 1) при а + (3 < 180°, прямая / обязательно пересечет Г (другая формулировка этого же постулата) не столь очевидно, как, например, утверждение, что через две точки проходит единственная прямая.

Стоит еще отметить, что в то время эти утверждения воспринимались как законы, непосредственно относящиеся к физическому миру, недаром Евклид дает определения (объяснения) объектов, с точки зрения современной геометрии "неопределяемых", например, "точка есть то, что не имеет частей". Естественным было стремление минимизировать количество основных законов, взятых из непосредственной практики.

Еще во времена Евклида было предложено несколько доказательств V постулата, однако вскоре выяснилось, что они содержат ошибки. Попытки доказать V постулат продолжались около двух тысяч лет (что интересно, дилетанты еще и сегодня пытаются его доказать), однако каждый раз при внимательном анализе в доказательстве обнаруживались ошибки. Сложилась даже некоторая

традиция работа, рис. 4. Псевдосфера - поверхность, посвященная доказа- на которой локально реализуется

тельству пятого по- геометрия Лобачевского.

12 Георесурсы 3/71,2001

В.И. Башков, М.А. Малахальцев Геометрия Лобачевского и современное научное мировоззрение

стулата, состояла из двух частей:

1) разбор ошибок в доказательствах предшественников,

2) новое, на этот раз абсолютно истинное, доказательство V постулата.

Естественно, что в очередной работе пункт 2) переходил в пункт 1), и "старое начиналось сызнова". К началу XIX века сложилась "патовая ситуация": евклидова геометрия была образцом строгости и стройности построения научной теории, она успешно применялась на практике, никто не сомневался в том, что она верно описывает законы мира (да и повода не было усомниться), оставалось лишь одно досадное недоразумение - К постулат, но он никак не хотел поддаваться усилиям математиков! Недаром Яноша Бойяи предостерегал отец, что размышления над загадкой V постулата его погубят, и хотя Янош и разгадал эту загадку, так оно и вышло...

Впрочем, вскоре проблема V постулата была решена, но совсем не так, как ожидалось - оказалось, что его невозможно доказать! Именно, трое ученых: Я. Бойаи, К.Ф. Гаусс и Н.И. Лобачевский пришли к выводу, что существует геометрия, в которой пятый постулат не выполняется, то есть, существует неевклидова (отличная от евклидовой)геометрия.

Первооткрыватели неевклидовой геометрии были, без сомнения, духовно мужественными людьми. Ведь новая геометрия прямо противоречила всем представлениям о пространстве. Уже само отрицание V постулата - "V постулат неевклидовой геометрии" - влечет существование не двух, а бесконечного множества прямых, проходящих через данную точку и не пересекающих данную прямую (рис. 2).

Но это только начало. Оказалось, что в новой геометрии сумма углов треугольника непостоянна и меньше 180°, что любые два подобных треугольника равны, через точку внутри угла можно провести прямую, не пересекающую стороны этого угла!

Каждый шаг, каждый новый факт прямо противоречил наглядным геометрическим представлениям, человеческой природе восприятия мира. И, несмотря на это, и Я. Бойаи, и К.Ф. Гаусс, и Н.И. Лобачевский нашли мужество сделать вывод, что такая геометрия действительно существует!

Но силы человека ограничены, и новое знание дается нелегко. Трагически сложилась судьба Я. Бойаи, отказывался обсуждать публично тему неевклидовой геометрии К.Ф. Гаусс. Слишком непросто приходится тем, кто сталкивается с принципиально новым, и странно слышать слова осуждения Гаусса от людей, перед которыми никогда не стояла мировоззренческая, подчеркнем, не математическая, а именно мировоззренческая проблема такого масштаба.

Мы можем лишь поразиться личному мужеству Николая Ивановича Лобачевского, который, несмотря на непонимание современников и даже их удивление тому, что столь уважаемый человек, ректор Казанского университета, позволяет себе настаивать на существовании какой-то воображаемой геометрии, последовательно публиковал работы по неевклидовой геометрии. Он приводил новые доказательства ее существования, показал, что евклидова геометрия является предельным случаем не-

евклидовой, стремился развить новую геометрию столь же глубоко, как была развита в его время евклидова геометрия.

Вскоре после смерти Лобачевского было замечено, что неевклидова геометрия локально реализуется, как внутренняя геометрия поверхностей отрицательной кривизны, например, псевдосферы, рис. 4 (кстати, понятие "внутренняя геометрия поверхности" было введено К.Ф. Гауссом).

Отметим, что это только локальная реализация, то есть плоскость Лобачевского целиком нельзя представить как поверхность в трехмерном евклидовом пространстве (теорема Ефимова), и в этом смысле неверно говорить, что геометрия Лобачевского есть геометрия поверхности. Геометрия Лобачевского сложнее, и это еще раз показывает, с какими трудностями пришлось столкнуться создателям неевклидовой геометрии.

Позже были найдены и другие модели и интерпретации геометрии Лобачевского, в частности, в рамках проективной геометрии, и все это привело к самому, на наш взгляд, важному результату открытия неевклидовой геометрии. Было осознано, что мы в процессе познания строим различные модели мира: геометрическую, физическую и т.д., но модель не тождественна миру, она лишь отражает или интерпретирует некоторые его свойства. Геометрия же изучает уже не непосредственно мир, а одну из его моделей. В окончательном виде это понимание было зафиксировано Д. Гильбертом, который создал современную аксиоматику геометрии, ввел неопределяемые понятия и сформулировал аксиомы, как "правила игры" с этими понятиями, то есть, фактически, как заранее заданные свойства математической модели. Объясняя свою мысль, он говорил, что мы можем считать точки пивными кружками, а прямые - столами, главное, чтобы выполнялись аксиомы. Впоследствии это привело к пониманию математики как науки, изучающей математические структуры. Наиболее последовательно эта точка зрения проведена Н. Бурбаки в его знаменитых "Elementes de Mathématique" ("Элементы математики" - основные составляющие части, основания математики) уже во второй половине XX века. Этот труд и подвел итог, по крайней мере, с современной точки зрения, столетней работы по освоению неевклидовой геометрии.

Подведем итог и мы. В результате открытия неевклидовой геометрии:

1. Евклидова геометрия стала математической теорией, то есть одной из возможных математических моделей окружающего мира.

2. Произошло окончательное самоопределение математики как науки, изучающей математические структуры мира. Появилось современное понимание систем аксиом и понятие модели.

3. Была осознана невозможность построения единой окончательной модели мира и одновременно необходимость поиска связи между различными моделями - связи, обусловленной единством мира.

Литература

Норден А.П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского,

М. Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1953.

Васильев А.В. Николай Иванович Лобачевский. М. Наука. 1992.

Pont J.C. L"aventure des parallèles, PeterLang, Berne, 1986.

Георесурсы 317], 2001

Н. И. Лобачевский. Его жизнь и научная деятельность Литвинова Елизавета Федоровна

Глава VII

Научная деятельность Лобачевского. – Из истории неевклидовой или воображаемой геометрии. – Участие Лобачевского в создании этой науки. – Различные, современные воззрения на будущность неевклидовой геометрии и отношение ее к евклидовой. – Параллель между Коперником и Лобачевским. – Следствия из трудов Лобачевского для теории познавания. – Работы Лобачевского по чистой математике, физике и астрономии .

Происхождение воображаемой, или неевклидовой, геометрии ведет свое начало от постулата Евклида, с которым все мы встречаемся в курсе элементарной геометрии. При занятиях геометрией в детстве нас удивляет обыкновенно не сам постулат, принятый без доказательства, а заявление учителя, что все попытки доказать его до сих пор оставались безуспешными.

Во-первых, нам представляется очевидным, что перпендикуляр и наклонная при достаточном продолжении пересекутся, а во-вторых, это кажется так легко доказать. И трудно найти человека, который бы учился геометрии и никогда не пробовал доказать постулат Евклида. Этому, можно сказать, соблазну одинаково подвержены люди талантливые и бездарные, с той только разницей, что первые скоро убеждаются в несостоятельности своих доказательств, а последние упорствуют в своем мнении. Отсюда бесчисленное множество попыток доказать упомянутый постулат.

На этом постулате, как известно, построена теория параллельных линий, на основании которой доказывается теорема Фалеса о равенстве суммы углов треугольника двум прямым углам. Если бы можно было, не прибегая к теории параллельных, доказать, что сумма углов треугольника равна двум прямым, то из этой теоремы можно было бы вывести доказательства постулата Евклида, и в таком случае вся элементарная геометрия была бы наукой строго дедуктивной.

Из истории геометрии нам известно, что один персидский математик, живший в середине XIII века, первый обратил внимание на теорему Фалеса и старался доказать ее, не пользуясь теорией параллельных. В основе этого доказательства, как и во всех последующих, легко было усмотреть безмолвное допущение того же постулата Евклида. Из бесчисленного множества последующих попыток такого рода заслуживают внимания только труды Лежандра, который почти полвека занимался этим вопросом.

Лежандр стремился доказать, что сумма углов треугольника не может быть ни более, ни менее двух прямых; из этого, конечно, следовало бы, что она должна быть равна двум прямым. В настоящее время доказательство Лежандра признано несостоятельным. Как бы то ни было, не достигнув главной своей цели, Лежандр многое сделал для изложения геометрии Евклида в смысле приспособления ее к требованиям нового времени, и элементарная геометрия в том виде, в каком проходят ее теперь, со всеми ее достоинствами и недостатками, принадлежит Лежандру.

Итальянец-иезуит Саккери в 1733 году в своих исследованиях приближался к идеям Лобачевского, то есть готов был отвергнуть постулат Евклида, но не решился этого высказать, а стремился во что бы то ни стало доказать его, и конечно, так же безуспешно.

В конце прошлого столетия в Германии гениальный Гаусс в 1792 году впервые задал себе смелый вопрос: что произойдет с геометрией, если отвергнуть постулат Евклида? Этот вопрос родился, можно сказать, вместе с Лобачевским, который ответил на него созданием своей воображаемой геометрии. Здесь представляется нам решить, возник ли этот вопрос самостоятельно в уме нашего Лобачевского, или его возбудил Бартельс, сообщив даровитому ученику мысль друга своего Гаусса, с которым до самого отъезда в Россию он поддерживал деятельные личные отношения. Некоторые современные русские математики, побуждаемые, вероятно, наилучшими чувствами, стремятся доказать, что мысль Гаусса возникла в уме Лобачевского совершенно самостоятельно. Доказать это невозможно; всем известно письмо Гаусса, относящееся к 1799 году, в котором он говорит: «Можно построить геометрию, для которой не имеет места аксиома о параллельных линиях».

Сошлемся на слова казанского профессора Васильева, доказавшего свое глубокое уважение к заслугам и памяти Лобачевского; говоря о близких отношениях Бартельса с Гауссом, он замечает:

«Нельзя считать поэтому слишком рискованным предположение, что Гаусс делился своими мыслями по вопросу о теории параллельных со своим учителем и другом Бартельсом. Мог ли, с другой стороны, Бартельс не сообщить о смелых взглядах Гаусса по одному из основных вопросов геометрии своему пытливому и талантливому казанскому ученику?» Разумеется, не мог.

Но умаляет ли все это заслуги Лобачевского? Конечно, нет.

Труды Лежандра, о которых мы упоминали, вышли в 1794 году. Они не удовлетворили, но оживили интерес к теории параллельных, и нам известно, что в первое двадцатипятилетие нашего столетия беспрестанно появлялись сочинения, относящиеся к теории параллельных. По словам профессора Васильева, многие из них и до сих пор сохранились в библиотеке Казанского университета и, как достоверно известно, были приобретены самим Лобачевским.

В 1816 году Гаусс оценил следующим образом все эти попытки: «Немного в области математики вопросов, о которых так много писалось бы, как о пробеле в началах геометрии, и все-таки мы должны признаться честно и откровенно, что в сущности мы не ушли за две тысячи лет дальше Евклида. Такое откровенное и прямое сознание более отвечает достоинству науки, чем тщетные желания скрыть пробел…»

Из всего этого мы видим, что в то время, когда Лобачевский вступал на математическое поприще, все было подготовлено к решению вопроса о теории параллельных в том смысле, в каком это было сделано Лобачевским. В 1825 году вышла теория параллельных немецкого математика Тауринуса, в которой упоминается о возможности такой геометрии, в которой постулат Евклида не имеет места. Первое сочинение Лобачевского, относящееся к этому предмету, представлено было физико-математическому факультету в Казани в 1826 году; оно вышло в свет в 1829 году, а в 1832 году появилось собрание трудов венгерских ученых, отца и сына Болиай, по неевклидовой геометрии. Нам известно, что Болиай-отец был другом Гаусса; из этого можно заключить, что ему более чем Лобачевскому были известны мысли Гаусса; между тем, право гражданства получила в Западной Европе геометрия Лобачевского. Первый труд Лобачевского, появившийся на немецком языке, заслужил, как мы сказали, одобрение Гаусса. По поводу его Гаусс писал к Шумахеру: «Вы знаете, что уже пятьдесят четыре года, как я разделяю те же взгляды. Я, собственно, не нашел в сочинении Лобачевского ни одного нового для меня факта; но изложение весьма различно от того, какое я предполагал дать этому предмету. Автор толкует о предмете как знаток, в истинно-геометрическом духе. Я считал себя обязанным обратить ваше внимание на эту книгу „Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien“,, чтение которой непременно принесет вам большое удовольствие». Письмо это написано в Геттингене и относится к 1846 году. Из него, однако, нельзя заключить, чтобы Гаусс не знал и раньше от Бартельса о трудах Лобачевского. Мы скажем более: невозможно допустить, чтобы Бартельс умолчал об успехах своего талантливого ученика.

Из сказанного нами очевидно, что краеугольный камень геометрии Лобачевского – это отрицание постулата Евклида, без которого геометрия около двух тысяч лет казалась немыслимой. Нам известно, как крепко всегда держались люди за наследие веков и сколько отваги требуется от человека, разрушающего вековые заблуждения. Из очерка жизни Лобачевского мы видели, как мало ценили и понимали его современники как ученого. И теперь, через сто лет после его рождения, в обыкновенных образованных людях держится глубокое предубеждение против геометрии Лобачевского, если только им известно о ее существовании. Изложить эту геометрию в популярной форме невозможно, как невозможно объяснить человеку, лишенному слуха, прелести соловьиных трелей. Для того чтобы понять значение этой отвлеченной науки, необходимо уметь отвлеченно мыслить, что дается только долгими занятиями философией и математикой. Имея это в виду, мы о созданной Лобачевским геометрии скажем только то, в чем она заключается, какое ей приписывают значение современные ученые, как и кем она разрабатывалась после Лобачевского и какое эти позднейшие труды имели отношение к трудам самого Лобачевского. Во всем этом читателю, не посвященному в тайны высшей математики, придется верить на слово авторитетам.

В юбилейных речах и брошюрах, посвященных памяти Лобачевского, русские математики употребили все усилия, чтобы разъяснить общественности характер и значение научных заслуг Лобачевского, и, так как они касались главным образом воображаемой геометрии, нам в данном случае предстоит воспользоваться этими усилиями. Но, проследив внимательно устные и печатные отзывы образованной публики, мы подметили общую неудовлетворенность и довольно определенно высказанные следующие требования: для человека, знающего только геометрию Евклида, самым существенным является вопрос, какое отношение имеет геометрия Лобачевского к этой геометрии. И об этом предмете также говорится в упомянутых речах, но все же здесь, как видно, публика требует прямые ответы на следующие вопросы: опровергает ли геометрия Лобачевского геометрию Евклида, заменяет ли ее, делая излишней, или представляет только обобщение последней? Какое она имеет отношение к четвертому измерению, которое сослужило такую службу спиритам? Следует ли Лобачевского считать, несмотря на все его достоинства, мечтателем в науке, и почему Лобачевского называют Коперником геометрии?

Мы уже говорили, что Лобачевский сначала имел в виду только улучшить изложение евклидовой геометрии, сообщить ее началам большую строгость и нисколько не думал подрывать этих начал. Попытки такого сильного ума, каким обладал Лежандр, убедили наконец истинных математиков в невозможности доказать постулат Евклида логически, то есть вывести его из свойств плоскости и прямой линии. Тогда Лобачевскому, имевшему вообще склонность к философии, пришла мысль проверить, подтверждается ли постулат Евклида опытом в пределах наибольших доступных нам расстояний.

Заметим, что в опыте он искал проверки, а не доказательства постулата.

Наибольшие доступные человеку расстояния – это те, которые дают ему астрономические наблюдения. Лобачевский убедился, что для этих расстояний результаты наблюдений совместимы с постулатом Евклида. Из этого следует, что и отсутствие логического доказательства этого постулата нисколько не подрывает истинности геометрии для доступных нам расстояний, а вместе с тем сохраняют свою истинность законы механики и физики, на ней основанные.

Но человеку свойственно задаваться мыслью: «Что там, за пределами доступных нам расстояний? Для тех, которые мы называем бесконечными, имеют ли абсолютное значение свойства нашего пространства?» Вот вопрос, который предложил себе Лобачевский.

Лобачевский построил свою геометрию логически, приняв известные нам аксиомы, относящиеся к прямой и к плоскости, и допустив как гипотезу, что сумма углов треугольника менее двух прямых. Но и при таком допущении, которое может иметь место только для пространств, размерами своими значительно превосходящих нашу солнечную систему, геометрия Лобачевского для доступных нам измерений дает те же результаты, что и геометрия Евклида. Совершенно правильно или, вернее, основательно один геометр назвал геометрию Лобачевского звездной геометрией. О бесконечных же расстояниях можно составить себе понятие, если вспомнить, что существуют звезды, от которых свет доходит до Земли тысячи лет. Итак, геометрия Лобачевского включает в себя геометрию Евклида не как частный, а как особый случай. В этом смысле первую можно назвать обобщением геометрии нам известной. Теперь возникает вопрос, принадлежит ли Лобачевскому изобретение четвертого измерения? Нисколько. Геометрия четырех и многих измерений создана была немецким математиком, учеником Гаусса, Риманном. Изучение свойств пространств в общем виде составляет теперь неевклидову геометрию, или геометрию Лобачевского. Пространство Лобачевского есть пространство трех измерений, отличающееся от нашего тем, что в нем не имеет места постулат Евклида. Свойства этого пространства в настоящее время уясняются при допущении четвертого измерения. Но этот шаг принадлежит уже последователям Лобачевского. Поэтому к неевклидовой геометрии примыкает и составляет как бы продолжение ее геометрия многих измерений, которая, придавая большую общность и отвлеченность многим вопросам геометрии, в то же время является незаменимым пособием при решении многих вопросов анализа.

Риманн в трактате «О гипотезах, лежащих в основе геометрии» высказал мысль, что геометрия Евклида не составляет необходимого следствия наших понятий о пространстве вообще, но есть результат опыта, гипотез, которые находят себе подтверждение в пределах наших наблюдений. Риманн дал общие формулы, воспользовавшись которыми и применяя которые к исследованию так называемой псевдосферической поверхности (бокального вида), итальянский математик Бельтрами нашел, что все свойства линий и фигур геометрии Лобачевского принадлежат линиям и фигурам на этой поверхности. Вот какое отношение имела геометрия многих измерений к геометрии Лобачевского.

Труды Бельтрами привели к следующим важным заключениям: 1) геометрия двух измерений Лобачевского не есть воображаемая геометрия, а имеет объективное существование и вполне реальный характер; 2) то, что в геометрии Лобачевского соответствует нашей плоскости, есть псевдосферическая (бокальная) поверхность, а то, что он называет прямой линией, – геодезическая линия (кратчайшее расстояние между двумя точками) этой поверхности.

Существование геометрии двух измерений, отличной от нашей планиметрии, легко себе представить. Вообразим себе шаровую поверхность, эллиптическую или какую-нибудь вогнутую, и представим себе на ней линии и фигуры. Выпуклые и вогнутые поверхности называются кривыми поверхностями.

Наша плоскость, прямая поверхность, не имеет кривизны, и в математике принято говорить: кривизна плоскости равна нулю. Аналогично этому наше пространство не имеет кривизны. Кривые же поверхности имеют или положительную, или отрицательную кривизну. Бокальная поверхность имеет отрицательную кривизну, а эллиптическая – положительную. Аналогично этому пространству Лобачевского приписывают отрицательную кривизну.

Пространство Лобачевского, как отличающееся существенно от нашего, нельзя себе представить, оно только мыслимо. То же относится и к пространствам четырех и многих измерений.

К исследованиям Риманна тесно примыкают труды Гельмгольца, который справедливо говорит: «В то время, как Риманн вступил в эту новую область знания, отправляясь от самых общих и основных вопросов, я сам пришел к подобным же выводам».

Риманн исходил в своих исследованиях от алгебраического общего выражения расстояния между двумя бесконечно близкими точками и отсюда вывел различные свойства пространств; Гельмгольц же, исходя от факта возможности движения фигур и тел в нашем пространстве, вывел в конце концов формулу Риманна. Обладая умом в высшей степени ясным, Гельмгольц как бы осветил нам всю глубину мыслей Риманна.

В данном же случае для нас особенно важно, что, выясняя нам происхождение геометрических аксиом, он косвенно определил, в каком отношении находится геометрия Лобачевского к нашей.

По мнению Гельмгольца, главным затруднением в чисто геометрических исследованиях служит легкость, с которой мы здесь смешиваем ежедневный опыт с логическими процессами мысли. Гельмгольц доказывает, что в геометрии Евклида многое опирается на опыт и не может быть выведено логическим путем. Замечательно, что задачи построений играют в геометрии такую существенную роль. С первого взгляда они кажутся не более как практическими действиями, на самом же деле они имеют силу положений. Чтобы сделать очевидным равенство геометрических фигур, обыкновенно их накладывают мысленно одну на другую. В возможности такого положения мы с раннего возраста убеждаемся фактически. Гельмгольц доказывает также, что особенные характеристические черты нашего пространства суть опытного происхождения.

На основании физиологических данных, относящихся к устройству наших органов чувств, Гельмгольц приходит к очень важному для нас убеждению, что все наши способности к чувственным восприятиям распространяются на Евклидово пространство трех измерений, всякое же пространство, хотя и трех измерений, но имеющее кривизну, или пространство с числом измерений более трех, мы в силу самой своей организации не в состоянии себе представить.

Итак, учение Гельмгольца, которого справедливо считают гением нашего столетия, подтверждает, со своей стороны, результаты, добытые математиками Риманном и Лобачевским. Но если мы не в состоянии никакими естественными и искусственными средствами получить это представление, то все же геометрия двух измерений, отличная от нашей, доступна нашему представлению. Гельмгольц дает нам средства вникнуть в суть геометрии псевдосферической и сферической, прибегая к чрезвычайно остроумным приемам, останавливаться на которых мы, конечно, не будем. В данном случае для нас самое главное – это наглядная параллель между происхождением опытных и логических истин.

Пользуясь выводами Гельмгольца, легко уяснить, как надобно понимать пространство более трех измерений. Гельмгольц задавался вопросом, какова была бы геометрия у существ, которые знали бы по опыту только два измерения, то есть жили бы в плоскости, вполне с ней совмещаясь. Будучи плоскими, такие существа знали бы всю планиметрию в том именно виде, в каком мы – существа трех измерений – знаем ее теперь; но те же самые гипотетические существа не имели бы ни малейшего представления о третьем измерении, и вся наша стереометрия не могла бы иметь для них ничего конкретного. Тем не менее эти плоские существа, лишенные возможности действительно построить стереометрию, могли бы, пользуясь анализом, изучить ее аналитически. В совершенно таком же положении находимся мы, существа трех измерений, по отношению к пространству четырех измерений и вообще отличному от нашего: мы не можем создать синтетическую геометрию этого пространства, но ничто не препятствует нам изучить его свойства аналитически. Лобачевский первый дал опыт изучения такого пространства, которое лежит вне нашего опыта. Для людей, не владеющих математическим анализом, не существует ни пространство Лобачевского, ни геометрия многих измерений, как не существуют видимые только в телескоп небесные светила для людей, смотрящих на небо невооруженным глазом.

После того, что мы здесь сказали, нетрудно решить вопрос, был ли Лобачевский мечтателем в науке? Дальнейшие научные исследования доказали реальность его геометрии двух измерений и показали вообще возможность аналитического изучения пространств, отличающихся от нашего евклидовского. И, можно сказать, самые сильные умы нашего времени работают в духе Лобачевского, и то, что считали мечтою современники Лобачевского, в настоящее время признается глубоким, истинно научным исследованием.

Эта работа, как говорит профессор Васильев, ведется теперь и в отчизне Лобачевского, и во всех культурных странах Европы: в Англии, Франции, Германии, Италии, в едва пробуждающейся от умственного сна Испании, среди девственных лесов Техаса.

В задачу нашу не входит изложение учения спиритов о пространстве четырех измерений; мы заметим только то, что оно стремится убедить в реальном существовании пространства четырех измерений, и потому диаметрально противоположно взглядам истинных математиков и философов, доказывающих, напротив, полную невозможность этого для нас, смертных.

Отрадно видеть, что разработка идей Лобачевского все разрастается, и не только в области одной математики; в решении заключающихся в них вопросов должны принять участие и физиология органов чувств, и та область философии, которую теперь принято называть теорией познавания. В доказательство того, как далеко распространяется влияние идей Лобачевского, приведем слова г-на Михайлова, который говорит в своей поздравительной телеграмме Казанскому университету: «Я счастлив, что еще в 1888-1889 годах мог совместить философские принципы великого русского геометра Лобачевского и учение о симметрии великого француза Луи Пастера в моих лекциях по физиологии, читанных в Санкт-Петербургском университете».

От главных научных заслуг Лобачевского перейдем к второстепенным. Он не был исключительно геометром, как, например, немецкий математик Штейнер. Современные русские математики находят большой интерес и в его работах по алгебре и анализу. Одна из таких работ служит дополнением одной мысли Гаусса.

Лобачевский, как и Риманн, был не только математиком, но и философом, и значение его работ для теории познания почти так же велико, как и для математики. Замечательно, что не только в математике, но и в философии того времени был возбужден вопрос о сущности и происхождении геометрических аксиом.

Вообще эпоха, в которой жил Лобачевский, была знаменательной в умственной деятельности. О ней с восторгом говорит Гельмгольц: «Эта эпоха была богата духовными благами, воодушевлением, энергией, идеальными надеждами, творческими мыслями». К этой эпохе относится появление «Критики чистого разума» Канта, в которой заключалось также и новое учение о пространстве. Кант, как известно, утверждал, что представление о пространстве предшествует всякому опыту и потому есть вполне субъективная форма нашего воззрения, не зависящая от опыта. Такое учение было противоположно учению Локка и французских сенсуалистов, отрицавших врожденные идеи и субъективные априорные формы воззрения. Математики, вообще говоря, не отрицали существования последних; однако нам известно следующее мнение Гаусса: «Наше знание истин геометрии лишено того полного убеждения в их необходимости (и, следовательно, абсолютной истине), которое принадлежит учению о величинах; мы должны скромно сознаться, что если число есть только продукт нашего духа, то пространство и помимо нашего духа имеет реальность, которой мы не можем a priori предписывать законы».

Из приведенного здесь мнения Гаусса видно, что он признавал существенное различие между понятиями о величинах и представлением пространства. Первые суть результаты законов нашего ума, вторые суть следствия нашего опыта или результаты физиологических свойств наших органов чувств, определяющих характер всех нашего восприятия внешнего мира. Такие же взгляды мы встречаем у Лобачевского. Их считают диаметрально противоположными воззрениям Канта. В сущности, по нашему мнению, все воззрения Канта сводятся к тому же мнению, если глубоко вникнуть в то, что он разумеет под синтетическими воззрениями a priori, и перевести на современный язык. Вся разница в языке, в способах выражения. Мы одинаково не можем предписывать законы как действительности, так и нашему чувственному восприятию этой действительности. Этим объясняем мы тот факт, что многие приверженцы Канта являются последователями Лобачевского. Своим логическим построением геометрии без постулата Евклида Лобачевский несомненно косвенно доказал, что его нельзя вывести логически, и что, следовательно, евклидова геометрия не есть дедуктивная наука и никогда, ни при каких усилиях ума не может сделаться дедуктивной, потому все эти усилия следует считать бесплодными. И Клиффорд справедливо говорит, что после Лобачевского современный геометр, для которого равно логически возможными представляются и форма пространства, изученная Евклидом, и форма пространства, изученная Лобачевским, и та, с которой связано имя Риманна, – не станет утверждать, что он знает вообще свойства пространства на недоступных нам расстояниях; и не будет думать, что он может судить о том, какие свойства имело какое бы то ни было пространство и какие оно будет иметь.

Итак, труды Лобачевского и других ученых, занимавшихся неевклидовой геометрией, как бы сказали человеку: «Та геометрия, которая для тебя действительно существует, в логическом отношении есть только частный случай абсолютной геометрии; твоя геометрия есть земная и человеческая». После такого рода открытия горизонт человека должен был расшириться так же, как увеличился он после того, как тот же человек перестал думать, что земля есть центр мира, окруженная концентрическими хрустальными сферами, и вдруг осознал себя живущим на ничтожной песчинке в необъятном океане миров. Таковы были результаты переворота в науке, сделанного Коперником. Отсюда и параллель между Коперником и Лобачевским, приведенная в первый раз Клиффордом в его «Philosophy of the pure sciences» и освещенная теперь многими самыми выдающимися учеными. «Исследования Лобачевского, – говорит профессор Васильев, – поставили философии природы вопрос не меньшей важности, – вопрос о свойствах пространства: одинаковы ли эта свойства здесь и в тех далеких мирах, откуда свет доходит до нас в сотни тысяч, в миллионы лет? Таковы ли эти свойства теперь, какими были, когда солнечная система формировалась из туманного пятна, и каковы они будут, когда мир будет приближаться к тому состоянию всюду равномерно рассеянной энергии, в котором физики видят будущее мира?»

Вот какой широкий горизонт открывают нам те научные исследования, первое основание которых положено твердой рукой нашего знаменитого соотечественника. Лобачевский же, как мы видели, был истинным сыном молодого народа, благодаря доброй воле просвещенного монарха узревший свет науки в отдаленной полудикой восточной окраине России.

Мы уже говорили, что геометрия Лобачевского нисколько не подрывает геометрию Евклида; следовательно, она не грозит и всем нашим знаниям, основанием которым служит наша геометрия, названная Лобачевским употребительной.

В подтверждение этого приведем доказательство того высокого уважения к опыту, которое имел сам творец воображаемой геометрии. Он говорит в своих «Новых началах геометрии»: «Первыми данными, без сомнения, будут всегда те понятия, которые мы приобретаем в природе посредством наших чувств. Ум может и должен приводить их к самому меньшему числу, чтобы они служили потом твердым основанием науке». В своей речи о «Важнейших предметах воспитания» Лобачевский останавливает внимание на словах Бэкона:

«Оставьте трудиться напрасно, стараясь извлечь из разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины и на вопросы ваши будет отвечать удовлетворительно».

По форме выражения своих философских воззрений Лобачевский принадлежал, очевидно, к последователям Локка, – не верил в существование врожденных идей и был большим врагом всякой схоластики.

Несмотря на все это, мы, как уже говорили, не можем согласиться, что открытия Лобачевского нанесли косвенный, но смертельный удар воззрениям на пространство Канта. И с точки зрения человека, утверждающего вместе с Кантом, что представления о пространстве – результат нашей организации, что оно не получается из опыта, но обусловливает опыт – геометрия Лобачевского сохраняет всю свою силу. Неевклидова геометрия служит только опровержением ложного взгляда, что нашу геометрию, то есть геометрию употребительную, можно создать одной логикой. Противники Локка и сенсуалистов признают пользу неевклидовой геометрии не только для одного анализа. К числу их принадлежит профессор Цингер; он говорит: «Исследования (Лобачевского) могут быть очень полезны и для геометрии, потому что, представляя собою обобщение геометрических отношений, могут указывать на такие зависимости и связи между предложениями геометрии, подметить которые без их помощи было бы невозможно, и, таким образом, могут открывать новые пути для исследований о действительном пространстве».

Работы Лобачевского по чистой математике не переведены на иностранные языки, но очень вероятно, будь это сделано раньше, и они были бы известны за границей. В них Лобачевский проявил те же качества ума, которые обнаружил в геометрии, вникая в самую суть предмета и определяя с большой тонкостью различие понятий. Казанский профессор Васильев, ученик известного современного математика Вейерштрасса, находит, что Лобачевский еще в тридцатых годах высказывал необходимость различать непрерывность функции от ее дифференцируемости; в семидесятых годах эта задача была блистательно выполнена Вейерштрассом и произвела переворот в современной математике. Лобачевский работал также в области теории вероятности и механики; он относился с большим интересом и к астрономии. В 1842 году он наблюдал в Пензе полное солнечное затмение, и его очень заинтересовало явление солнечной короны.

В отчете своем об этой астрономической экспедиции он излагает и критикует различные взгляды на объяснение солнечной короны. По поводу этого он излагает свой взгляд на теорию света, в котором говорит между прочим: «Истинная теория должна заключаться в одном простом, единственном начале, откуда явление берется как необходимое следствие со всем своим разнообразием». Теория волнения его не удовлетворяла, и он пытался соединить ее с теорией истечения. Итак, хотя Лобачевский не во всех математических науках с одинаковым успехом развивал свои собственные взгляды, но общий характер его деятельности был везде один и тот же: везде он стремился установить общие начала и разобщить понятия, не вполне тождественные между собою. С такой силой ума и с таким стремлением он мог бы произвести переворот и в других математических науках, если бы имел возможность отдать им столько же времени, сколько отдавал геометрии.

В одном из своих сочинений по геометрии Лобачевский высказывает мысль, что, может быть, не известные нам законы молекулярных сил будут выражены с помощью неевклидовой геометрии. Если и эта мысль великого геометра осуществится, то труд его приобретет еще большее значение. Но во всяком случае, все это пока принадлежит еще к области мечтаний. Современные нам последователи Лобачевского также подразделяются на трезвых математиков и математиков-мечтателей, увлекающихся фантазией. Самые выдающиеся из первых – Бельтрами, Софус Ли и Пуанкаре; в ряду последних же видное место занимает умерший несколько лет тому назад астроном Вальнер, утверждавший, что наше пространство имеет кривизну. Один из пламенных его последователей в Америке пошел еще дальше, стремясь объяснить многие явления природы кривизной пространства.

«Думается, – говорит профессор Васильев, – что Лобачевский не одобрил бы (таких) умозрений о свойстве нашего пространства».

И мы заключим наш очерк научных заслуг Лобачевского признанием справедливости этих слов, которые должны предохранить нас от смешивания мечтаний на почве неевклидовой геометрии с научными исследованиями этого предмета, начало которым положено нашим соотечественником Лобачевским.

Из книги Бирон автора Курукин Игорь Владимирович

Глава четвертая «БИРОНОВЩИНА»: ГЛАВА БЕЗ ГЕРОЯ Хотя трепетал весь двор, хотя не было ни единого вельможи, который бы от злобы Бирона не ждал себе несчастия, но народ был порядочно управляем. Не был отягощен налогами, законы издавались ясны, а исполнялись в точности. М. М.

Из книги Настоящая книжка Фрэнка Заппы автора Заппа Фрэнк

ГЛАВА 9. Глава для моего отца На военно-воздушной базе Эдвардс (1956–1959) у отца имелся допуск к строжайшим военным секретам. Меня в тот период то и дело выгоняли из школы, и отец боялся, что ему из-за этого понизят степень секретности? а то и вовсе вышвырнут с работы. Он говорил,

Из книги Даниил Андреев - Рыцарь Розы автора Бежин Леонид Евгеньевич

Глава сорок первая ТУМАННОСТЬ АНДРОМЕДЫ: ВОССТАНОВЛЕННАЯ ГЛАВА Адриан, старший из братьев Горбовых, появляется в самом начале романа, в первой главе, и о нем рассказывается в заключительных главах. Первую главу мы приведем целиком, поскольку это единственная

Из книги Мои воспоминания. Книга первая автора Бенуа Александр Николаевич

ГЛАВА 15 Наша негласная помолвка. Моя глава в книге Мутера Приблизительно через месяц после нашего воссоединения Атя решительно объявила сестрам, все еще мечтавшим увидеть ее замужем за таким завидным женихом, каким представлялся им господин Сергеев, что она безусловно и

Из книги Петербургская повесть автора Басина Марианна Яковлевна

«ГЛАВА ЛИТЕРАТУРЫ, ГЛАВА ПОЭТОВ» О личности Белинского среди петербургских литераторов ходили разные толки. Недоучившийся студент, выгнанный из университета за неспособностью, горький пьяница, который пишет свои статьи не выходя из запоя… Правдой было лишь то, что

Из книги Записки гадкого утёнка автора Померанц Григорий Соломонович

Глава Десятая Нечаянная глава Все мои главные мысли приходили вдруг, нечаянно. Так и эта. Я читал рассказы Ингеборг Бахман. И вдруг почувствовал, что смертельно хочу сделать эту женщину счастливой. Она уже умерла. Я не видел никогда ее портрета. Единственная чувственная

Из книги Барон Унгерн. Даурский крестоносец или буддист с мечом автора Жуков Андрей Валентинович

Глава 14 Последняя глава, или Большевицкий театр Обстоятельства последнего месяца жизни барона Унгерна известны нам исключительно по советским источникам: протоколы допросов («опросные листы») «военнопленного Унгерна», отчеты и рапорты, составленные по материалам этих

Из книги Страницы моей жизни автора Кроль Моисей Ааронович

Глава 24. Новая глава в моей биографии. Наступил апрель 1899 года, и я себя снова стал чувствовать очень плохо. Это все еще сказывались результаты моей чрезмерной работы, когда я писал свою книгу. Доктор нашел, что я нуждаюсь в продолжительном отдыхе, и посоветовал мне

Из книги Петр Ильич Чайковский автора Кунин Иосиф Филиппович

Глава VI. ГЛАВА РУССКОЙ МУЗЫКИ Теперь мне кажется, что история всего мира разделяется на два периода, - подтрунивал над собой Петр Ильич в письме к племяннику Володе Давыдову: - первый период все то, что произошло от сотворения мира до сотворения «Пиковой дамы». Второй

Из книги Быть Иосифом Бродским. Апофеоз одиночества автора Соловьев Владимир Исаакович

Из книги Я, Майя Плисецкая автора Плисецкая Майя Михайловна

Глава 29. ГЛАВА ЭПИГРАФОВ Так вот она – настоящая С таинственным миром связь! Какая тоска щемящая, Какая беда стряслась! Мандельштам Все злые случаи на мя вооружились!.. Сумароков Иногда нужно иметь противу себя озлобленных. Гоголь Иного выгоднее иметь в числе врагов,

Из книги автора

Глава 30. УТЕШЕНИЕ В СЛЕЗАХ Глава последняя, прощальная, прощающая и жалостливая Я воображаю, что я скоро умру: мне иногда кажется, что все вокруг меня со мною прощается. Тургенев Вникнем во все это хорошенько, и вместо негодования сердце наше исполнится искренним

Из книги автора

Глава 10. ОТЩЕПЕНСТВО – 1969 (Первая глава о Бродском) Вопрос о том, почему у нас не печатают стихов ИБ – это во прос не об ИБ, но о русской культуре, о ее уровне. То, что его не печатают, – трагедия не его, не только его, но и читателя – не в том смысле, что тот не прочтет еще

Из книги автора

Глава 47 ГЛАВА БЕЗ НАЗВАНИЯ Какое название дать этой главе?.. Рассуждаю вслух (я всегда громко говорю сама с собою вслух - люди, не знающие меня, в сторону шарахаются).«Не мой Большой театр»? Или: «Как погиб Большой балет»? А может, такое, длинное: «Господа правители, не